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2012年11月16日 (金)

反射 第7問 (本郷中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (本郷中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★

 下の図のような 1辺の長さが 30cm の正三角形ABC が

あります。PB=10cm の位置にある点P から発射された

球が、辺に当たり図のように反射し、頂点C に達して止まります。

このとき、CQ の長さを求めなさい。

       Pic_3168q

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解答

 まず、球の動いた跡を考えると、下の図1のように

三角形ABC の反対側に三角形DBC を作ります。

       Pic_3169a

PQ を出た球がQ で反射せず、そのまま進むと、図1のように

進みます。次に、下の図3のように、辺AC上の点R を辺BC に

対して線対称に移動した点T ではね返りますが、そのまま

直進させます。

  Pic_3170a

図2で、球は 辺DE に反射して頂点C へ向かいますが、

下の図3のように、辺DE 上の点U で反射せず、そのまま

直進させ、正三角形DEF の頂点F へ向かわせます。

   Pic_3171a

図3の直線PF が、球の動いた跡を直線にしたものになります。

 

CQの長さを求めるには、三角形PBQと三角形TCQが相似

ということから求めることができます。

 

CTの長さが、下の図4のように三角形PBF と三角形TDFが

相似で、PB=10cm、BF:DF=2:1より、

   Pic_3172a

DT=10÷2=5cm とわかり、CT=30-5=25cm です。

 

よって、下の図5のように

   Pic_3173a

三角形PBQ : 三角形TCQ = 10 : 25 = 2 : 5

という相似比なので、BQ : CQ = 2 : 5 より、

    CQ=30÷(2+5)×5=150/7=21と3/7(cm)

と求められます。

 

 

 本郷中学の過去問題集は → こちら

 本郷中学の他の問題は → こちら

 

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