べん図を使いこなそう 第１１問 （灘中学 入試問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（灘中学　入試問題　2011年　算数）　難易度★★★★

　３ケタの整数で、次のものはそれぞれ何個ありますか。

（１）３で割り切れるが１１１で割り切れないもの

（２）２と１１の少なくともどちらかで割り切れるもの

（３）２と１１の少なくともどちらかで割り切れるもののうち、

　　 ３で割り切れるが１１１では割り切れないもの

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解答　

　（１）１１１は３の倍数なので、３ケタの整数のうち

３の倍数の個数 から １１１の倍数の個数を除けば、

３で割り切れるが１１１で割り切れないものの個数になります。

３ケタで３の倍数は、１０２（３×３４）～９９９（３×３３３）まで

　　　 ３３３－３３＝３００個

あります。

３ケタで１１１の倍数は、９個あります。

よって、３ケタの整数で、３で割り切れるが１１１で割り切れない

ものは、

　　　　３００－９＝２９１個

です。

　（２）２と１１の少なくともどちらかで割り切れるものの個数は、

２の倍数の個数と、１１の倍数の個数の合計から、

２と１１の最小公倍数の２２の倍数の個数を除けばよいです。

３ケタの整数で、２の倍数は、１００（２×５０）～９９８（２×４９９）

までの、４９９－４９＝４５０個 です。

３ケタの整数で、１１の倍数は、１１０（１１×１０）～９９０（１１×９０）

までの、９０－９＝８１個 です。

３ケタの整数で、２２の倍数は、１１０（２２×５）～９９０（２２×４５）

までの、４５－４＝４１個 です。

よって、３ケタの整数で、２と１１の少なくともどちらかで割り切れる

ものは、

　　　　　　（４５０＋８１）－４１＝４９０個

です。

　（３）２と１１の少なくともどちらかで割り切れるものは、

下の図１の赤い部分で、そのうち、３で割り切れるものは

赤い部分と青線で囲まれた部分の重なったところです。

　　　

この部分は、図１のように、①、②、③の３つの部分に

分けて考えることができます。

そのうち、①と②の個数の合計は、３ケタの整数のうち、

２と３の両方で割り切れる、６の倍数の個数を表していて、

１０２（６×１７）～９９６（６×１６６）までの、１６６－１６＝１５０個

です。

③の個数は、

　②と③の個数の合計　：　３と１１の両方で割り切れる３３の倍数

から、

　②の個数　：　２と３と１１で割り切れる６６の倍数の個数

を除いたもので、

　１３２（３３×４）～９９０（３３×３０） までの３０－３＝２７個

から、

　１３２（６６×２）～９９０（６６×１５）までの１５－１＝１４個

を除いて、２７－１４＝１３個 です。

よって、①、②、③の合計の個数は、１５０＋１３＝１６３個 です。

これら１６３個のうち、１１１では割り切れないものの個数は、

３ケタの整数には、１１１と１１で共に割り切れるものがなく、

１１１は３の倍数なので、下の図２のような【べん図】を描くことが

でき、

　　　　

図１の①の部分が図２の④と⑤に分けられ、１６３個から

⑤の部分の個数を除けば求められます。

⑤の部分は、２でも１１１でも割り切れるものの個数なので、

　　　２２２の倍数＝２２２～８８８までの４個

です。

ゆえに、２と１１の少なくともどちらかで割り切れるもののうち、

３で割り切れるが１１１では割り切れないものの個数は、

　　　１６３－４＝１５９個

となります。

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