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2012年11月12日 (月)

論理 第26問 (栄光学園中学 受験問題 2010年(平成22年) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 受験問題 2010年 算数) 

     難易度★★★★

 

 1から36までの数が書いてあるカードが1枚ずつ、合計36枚

机の上に置いてあります。45人の生徒が次の(A)~(C)の

ルールでカードを取っていきます。

 (A)最初の人が2個のサイコロを振って、出た目の積の

    約数が書いてあるすべてのカードを机の上から取り、

    自分のものにする。

 (B)次の人も同じように2個のサイコロを振って、出た目の

    積の約数が書いてあるすべてのカードを机の上から

    取り、自分のものにする。もし前の人がカードを取って

    しまっていたら、その人からカードをもらい、自分のもの

    にする。

 (C)このような作業を45人が1回ずつ順に行う。

45人すべての生徒がこの作業を終えたとき、次の問に

答えなさい。

 

(1)最も多くて何枚のカードを自分のものにすることが

   できますか。

(2)机の上に残っているカードは、最も少なくて何枚で、

   最も多くて何枚ですか。

(3)机の上に残っているカードが最も少ない場合について

   (ア)カードを持っている生徒の人数は最も少なくて何人

     ですか。

   (イ)カードを持っている生徒の人数は最も多くて何人

      ですか。また、どういう場合にそうなりますか。次の

      解答例にならって具体的に1つ挙げなさい。

 (解答例)

  はじめの30人がすべて、積が16になるような目を出し、

  残りの15人がすべて、積が36になるような目を出した場合

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

 (1)2つの数の積の約数が最も多くなる場合はどんな場合かと

考えると、

      約数が多い数  ×  約数が多い数

の場合になると考えられます。

 

サイコロの数字1~6について、約数の数は

 1 ・・・ 1個 (1)

 2 ・・・ 2個 (1、2)

 3 ・・・ 2個 (1,3)

 4 ・・・ 3個 (1,2,4)

 5 ・・・ 2個 (1,5)

 6 ・・・ 4個 (1,2,3,6)

となっているので、2つの数の積の約数が最も多くなる場合は

【6の目】と【6の目】が出た場合で、6 × 6 =36 の約数の

   1,2,3,4,6,9,12,18,36

9枚のカードを自分のものにすることができます。

 

 (2)1~6の数の積でできる数の約数は、

1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,

30,36

の18個なので、机の上に残っているカードは、これらがすべて

取られたときに最も少なくなり、36-18=18枚 です。

 

机の上に残っているカードが最も多くなるのは、全員が

【1の目】×【1の目】=1 となるような目を出したときで、

「1」のカードのみなくなるので、36-1=35枚 が残ります。

 

 (3)(ア)(2)で求めた18枚を持つのに必要な人数は

【6の目】×【6の目】=36を出した人

   1,2,3,4,6,9,12,18,36 の9枚を持つ

残りのカードは 5,8,10,15,16,20,24,25,30 の9枚

このうち、最も大きい「30」のカードは【5の目】×【6の目】でしか

出せないので、

【5の目】×【6の目】=30を出した人

   1,2,3,5,6,10,15,30 の8枚を持つ

残りのカードは、8,16,20,24,25 の5枚

このうち、最も大きい「25」のカードは【5の目】×【5の目】で、

2番目の「24」のカードは【4の目】×【6の目】で、3番目の「20」

のカードは【4の目】×【5の目】で、4番目の「16」のカードは

【4の目】×【4の目】でしか出せません。「8」のカードは「16」の

カードを取る人が取れます。

 

よって、カードを持っている生徒の人数が最も少なくなるのは

45人の生徒が下記の6通りのサイコロの目だけを出し続けた

場合で、最終的な人数は、6人になります。

  ・ 【6の目】×【6の目】=36を出す

  ・ 【5の目】×【6の目】=30を出す

  ・ 【4の目】×【6の目】=24を出す

  ・ 【5の目】×【5の目】=25を出す

  ・ 【4の目】×【5の目】=20を出す

  ・ 【4の目】×【4の目】=16を出す

 

 (3)(イ)18枚のカードは、それぞれ、異なる2種類の目の積で

作ることができます。18枚のカードを数字の大きい順に取れば

18人の生徒に1枚ずつ行き渡ります。

 1人目 36 → 【6の目】×【6の目】

 2人目 30 → 【6の目】×【5の目】

 3人目 25 → 【5の目】×【5の目】

 4人目 24 → 【6の目】×【4の目】

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 16人目 3 → 【1の目】×【3の目】

 17人目 2 → 【1の目】×【2の目】

 18人目 1 → 【1の目】×【1の目】

 

よって、解答は

 (例1)

1人目から27人目までは、どんな目を出してもよい。

28人目から45人目までは、サイコロの積が順に

   36,30,25,24,20,18,16,15,12,10,9,8,

   6,5,4,3,2,1

となるような目を出すと、18人がカードを持つ。

 

 (例2)

1人目から18人目までの人が、サイコロの積が順に

   36,30,25,24,20,18,16,15,12,10,9,8,

   6,5,4,3,2,1

となるような目を出すし、19人目から45人目までの人は

サイコロの積が1になるような目を出すと、18人がカードを持つ。

 

のようになります。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(3)の(イ)は、生徒の人数が45人なので
「1人目から18人目までは」は
「1人目から27人目までは」になり
「19人目から36人目までは」は
「28人目から45人目までは」になります。

投稿: 万打無 | 2012年11月13日 (火) 08時41分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
ご指摘のとおり、枚数と人数を勘違いして
おりましたので、訂正させていただきました。
 
またお気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2012年11月14日 (水) 16時49分

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