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2012年11月 7日 (水)

計算問題 第87問 (約束記号) (暁星中学 入試算数問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (暁星中学 入試算数問題 2010年 算数) 難易度★★★

 2以上の整数Nに対して、記号[N]を次のように定めます。

Nが2つの2以上の整数の積で表せない場合(すなわちNが素数)

     [N]=N

Nが2つの2以上の整数の積 A×B で表される場合

     [N]=[A×B]=[A]+[B]

たとえば、[2]=2、[5]=5、

      [12]=[2×6]=[2]+[2×3]

          =[2]+[2]+[3]=2+2+3=7

となります。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)[60]の値を求めなさい。

(2)[N]=8 となる2以上の整数Nをすべて答えなさい。

(3)[N]=22 となる2以上の整数Nのうち、一番大きいものを

   答えなさい。

---------------------------------------------

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解答

 (1)[60]=[6×10]=[6]+[10]

               =[2×3]+[2×5]

               =[2]+[3]+[2]+[5]

               =12 となります。

 

 (2)N=A×B として、A+B=8となるのは、

A,Bともに2以上で、素数の場合は、

A=3、B=5 のときで、N=15

 

また、A=C×D、B=E×F とすると、(C,D,E,Fは2以上)

A=2、B=6のとき、[B]=2+4、3+3、2+2+2 より、

     B=2×4=8 または 3×3=9 または 2×2×2=8 で、

     N=2×8=16、2×9=18

A=3、B=5のとき、[B]=2+3 より、B=2×3=6 となり、

     N=3×6=18

A=4、B=4のとき、[A]=[B]=2+2より、A=B=2×2=4で、

     N=4×4=16

 

よって、[N]=8 となる整数Nは、15,16,18 の3個です。

 

 (3)ここまでで、[N]=Nを素因数分解したときに表される数の和

ということがわかります。

 

[N]=22 のとき、

N=2×2×・・・×2×2×2 (2を11回かけたもの) = 2048

が考えられます。

ここで、2×2×2=8 で、2+2+2=6 なので、

     3×3=9 、 3+3=6 より、

2×2×2 を 3×3 に直した方が、N(かけ算の結果)が大きい

ということになり、

 N=2×2×3×3×・・・×3 (3を6回かけたもの) =2916

となります。

 

これ以上、Nを大きくする改良はできないので、[N]=22 となる

整数Nのうち、一番大きいものは、2916 です。

 

 

 暁星中学の過去問題集は → こちら

 暁星中学の他の問題は → こちら

 

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