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2012年11月20日 (火)

計算問題 第89問 約束記号 (滝中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (滝中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★

 整数Xに対して、[ X ]で表したものを、1からXまでのすべての

整数をかけたものとします。たとえば、[1]=1、[3]=1×2×3、

[4]=1×2×3×4 のようになります。

このとき、次の問に答えなさい。

 

 (1)3×[5]+[3]+2×[2] を計算しなさい。

 (2)5×[5]+4×[4]+3×[3]+2×[2]+1×[1]+1=[ A ]

    を満たす整数Aを求めなさい。

 (3)2009=B×[6]+C×[5]+D×[4]

                           +E×[3]+F×[2]+G×[1]

       として表すとき、B+C+D+E+F+G の和が

    もっとも小さいとき、その和を求めなさい。

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解答

 (1)3×[5]+[3]+2×[2]=3×5×4×3×2×1+3×2×1

                   +2×2×1

                 =360+10=370 となります。

 

 (2)5×[5]+4×[4]+3×[3]+2×[2]+1×[1]+1

=5×5×4×3×2×1+4×4×3×2×1+3×3×2×1

 +2×2×1+1×1+1

=119×6+6=120×6=720 です。

これを1から順に小さい方から整数で割ると、

 720÷2=360

 360÷3=120

 120÷4=30

 30÷5=6

 6÷6=1

となるので、

 5×[5]+4×[4]+3×[3]+2×[2]+1×[1]+1=[6]

となり、A=6 です。

 

 <別解>

 式の工夫をすると、

5×[5]+4×[4]+3×[3]+2×[2]+1×[1]+1 

=(6-1)×[5]+(5-1)×[4]+(4-1)×[3]

    +(3-1)×[2]+(2-1)×[1]+1

=([6]-[5])+([5]-[4])+([4]-[3])

    +([3]-[2])+([2]-[1])+1

=[6] となり、A=6 です。

 

 (3)(2)より、[6]=720、[5]=120、[4]=24、[3]=6、[2]=2

[1]=1 です。

 2009÷720=あまり569

 569÷120=あまり89

 89÷24=あまり17

 17÷6=あまり

 ÷2=あまり

上の計算より、

  B=2、C=4、D=3、E=2、F=2、G=1 のとき、

その和は最小で、2+4+3+2+2+1=14 です。

 

 

 滝中学の過去問題集は → こちら

 滝中学の他の問題は → こちら

 

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