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2012年11月21日 (水)

立体図形の切り口 第48問 (青雲中学 受験問題 2009年(平成21年度) 算数)

 

問題 (青雲中学 受験問題 2009年 算数) 難易度★★★

 下の図1は、1辺の長さが4cmの立方体の見取り図です。

この立方体のすべての面に、図2のような 4つの点を描きます。

これら24個の点をうまく結ぶと、すべての辺の長さが等しい

1つの立体ができます。図3は、その立体の一部を示した

ものです。

Pic_3176q

この立体について、次の【 ア 】~【 オ 】にあてはまる

数、言葉を答えなさい。

この立体の面は、正方形が【 ア 】個と、【 イ 】が【 ウ 】個の

全部で【 エ 】個です。また、辺の数は【 オ 】本です。

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解答

 図3より、この立体は、下の図4のように

Pic_3179a

正方形と六角形からできていることがわかり、

正方形の数は、立方体の面の数と同じで、6個・・・【 ア 】です。

 

次に六角形ですが、下の図5の 6個の紫の三角形は、

Pic_3180a

どれも直角をはさむ辺が1cm、1cmの直角二等辺三角形で、

面上に3個、面と垂直に3個あり、この六角形は正六角形です。 

 

この正六角形の個数ですが、数え方は色々あると思いますが

1つの案として、下の図6のように

Pic_3181a

上の面の正方形の1辺から、真下の面の正方形の1辺までの間に

2個の正六角形があるので、上の面の正方形の1辺の下に

それぞれ2個の正六角形があると考えれば、

 4辺 × 2個 = 8個 ・・・ 【 ウ 】

正六角形 ・・・ 【 イ 】があり、面の数は全部で、

 6+8=14個 ・・・ 【 エ 】

とわかります。

 

最後に、この立体の辺の数の数え方についてです。

ここまでで、立体をバラバラにすると、正方形6個、正六角形8個

になることがわかります。バラバラの状態では、辺の数は、

  正方形:4本×6個 + 正六角形:6本×8個 = 72本

です。

 

バラバラの状態から立体を作るとき、どの辺も他のものと

くっつけるので、下の図7のように

    Pic_3182a

必ず 2本の辺が1本になります。

つまり、辺の数は、バラバラの状態の半分になるのです。

 

よって、辺の数は、72÷2=36本 ・・・ 【 オ 】

となります。

 

 

 青雲中学の過去問題集は → こちら

 青雲中学の他の問題は → こちら

 

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