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2012年11月26日 (月)

論理 第27問 (東大寺学園中学 2008年(平成20年度) 算数入試問題)

 

問題 (東大寺学園中学 2008年 算数入試問題) 難易度★★★

 A,B,C,D,E の5人が、自分の好きな異なる整数を4個、

それぞれ選びました。

 次に、選んだ4個の整数のうち2個の整数の和を6通りすべて

計算しました。6通りの和をすべて正しく計算できたのは、A,Bの

2人だけで、残り3人はどこかで間違いをしていました。

 Aの選んだ4個の整数は、2個の偶数と2個の奇数でした。

5人の計算結果が次の通りです。

 

 ①26,28,29,32,34,38

 ②23,25,26,30,31,33

 ③24,27,30,32,33,36

 ④26,29,32,33,36,39

 ⑤25,28,29,31,33,35

 

(1)Aの計算結果は①~⑤のうちどれですか。

(2)Bの計算結果は①~⑤のうちどれですか。

(3)Bが選んだ4個の整数をすべて答えなさい。

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解答

 (1)Aの選んだ整数は、偶数2個(P,Q)奇数2個(R,S)なので、

その6通りの和は、

 偶数P+偶数Q=偶数

 偶数P+奇数R=奇数

 偶数P+奇数S=奇数

 偶数Q+奇数R=奇数

 偶数Q+奇数S=奇数

 奇数R+奇数S=偶数

となるので、計算結果が偶数2個、奇数4個となっている

がAの計算結果となります。

 

 (2)4つの整数P,Q,R,Sを使った6通りの和は、

P+Q、P+R、P+S、Q+R、Q+S、R+S で、

この6個の和をすべて足すと、

 (P+Q)+(P+R)+(P+S)+(Q+R)+(Q+S)+(R+S)

3×(P+Q+R+S) となり、3の倍数になります。

 

②以外の①、③、④、⑤の計算結果をすべて足したものが、

3の倍数になるかどうかを確認します。

 

確認なので、すべて足す必要はありません

それぞれの計算結果の値を3で割った余りを足して、

3で割れるか確認すれば判断できます。

 

①:26+28+29+32+34+38⇒2+1+2+2+1+2=10

③:24+27+30+32+33+36⇒0+0+0+2+0+0=2

④:26+29+32+33+36+39⇒2+2+2+0+0+0=6

⑤:25+28+29+31+33+35⇒1+1+2+1+0+2=7 

  

この結果から、④の計算結果の和だけが3の倍数になることが

わかるので、Bの計算結果は、です。

 

 (3) ④は、26,29,32,33,36,39 です。

Bの選んだ整数を、小さい方からP,Q,R,S とします。

すると、小さい方から2つのP+Qは、計算結果で最小の26

大きい方から2つのR+Sは、計算結果で最大の39 となります。

 

また、2番目に小さい計算結果の29は、

最も小さいP+3番目に小さいRの和

2番目に大きい計算結果の36は、

最も大きいS+3番目に大きいQの和 ということになります。

(他のものでは2番目にならない)

 

P+Q=26、P+R=29 ということは、

RはQより「3」大きい ということを示しています。 

 

ここで、残った2つの計算結果である「32」「33」に注目します。

この2つは、P+S と R+Q になります。

RはQより3大きいので、どちらかは偶数でどちらかは奇数です。

偶数+奇数=奇数になりますから、R+Q=33 ということです。

よって、Q=15、R=18 となります。

残りのP,Sは、

 P+Q=26より、P=11

 R+S=39より、S=21 と求められます。

ゆえに、Bが選んだ整数は、11,15,18,21 です。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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