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2012年11月 9日 (金)

規則性の問題 操作 第26問 (麻布中学 受験問題 2007年(平成19年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 受験問題 2007年(平成19年度) 算数) 

     難易度★★★★

 

18枚のカードが積み重ねられていて、上から順に1から18の

整数が記入されています。このカードの束に対して、次の2つの

操作を組み合わせて何回か行います。

<操作1>下の図1のように、カードの束を2等分して

       上下の位置を入れかえる。

 Pic_3147q

<操作2>下の図2のように、カードの束を3等分して

       上中下の位置を入れかえる。

 Pic_3148q

図2では、【上中下】を【中下上】のように入れかえていますが、

どのように入れかえてもよいものとします。このとき、次の問に

答えなさい。

 

(1)<操作1>、<操作2>を組み合わせて何回か行ったところ、

  上から順に下の図3のようになりました。数が入っていない

  部分に整数を記入しなさい。

 Pic_3149q

(2)360枚のカードが積み重ねられ、上から順に1から360の

   整数が記入してあります。今度は、このカードの束に対して

  <操作1>、<操作2>および次の<操作3>を組み合わせ

   何回か行いました。

<操作3>カードの束を5等分して、5つの束の位置を入れかえる

   すると、上から40番目と80番目のカードは共に13の倍数で、

   40番目のカードの方が80番目のカードより大きい数になり

   ました。このとき、40番目と80番目のカードの数字を求め

   なさい。

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解答

 (1)<操作1>、<操作2>によって様々に入れかえられる

数字は、下の図4のような、3個ずつの6ヶ所に分けられます。

Pic_3150a_2

図4に数字を当てはめると、図5のようになります。

3個ずつの数字のカタマリは分断されることはないので、

必ずこの3個はカタマリとなっています。

 

【3個のカタマリになる理由】

  2等分する操作 → 全体を 1/2 ずつにする

  3等分する操作 → 全体を 1/3 ずつにする

いちばん小さいカタマリは、1/2 と 1/3 の差の

  1/2 - 1/3 = 1/6 の大きさになり、

全部で18枚のカードがあるので、18枚の1/6で、3枚ずつの

カタマリになります。

 

よって、図3に3つずつ連続する数を当てはめて考えると、

下の図6のようになります。

Pic_3151a

 

 (2)(1)より、<操作1>と<操作2>では、

  2等分する操作 → 全体を 1/2 ずつにする

  3等分する操作 → 全体を 1/3 ずつにする

このことから、1/6 ずつのカタマリが、最も小さいカタマリでした。

さらに、<操作3>

  5等分する操作 → 全体を 1/5 ずつにする

が加わると、

  1/6 と 1/5 の差 = 1/5 - 1/6 = 1/30 のカタマリ

が最も小さいカタマリとして発生します。

 

全部で 360枚 あるので、360÷30=12枚 のカタマリが

30個ならんでいることになります。

 

上から40番目と80番目のカードは、下の図7のように

  Pic_3152a

それぞれ、12個のカタマリの中で、

  40÷12=3あまり4 → 4番目

  80÷12=6あまり8 → 8番目

にあることがわかります。

 

最初の状態で、13の倍数は、12個のカタマリの何番目に

あるかというと、下の図8のように求められ、

Pic_3153a

40番目のカードになりうるのは、13×4=52、13×16=208

80番目のカードになりうるのは、13×8=104、13×20=260

40番目のカードの方が80番目のカードより大きい数なので、

    40番目のカードは 208、80番目のカードは 104

の組み合わせになることがわかります。

 

 

<別解>

360枚について<操作1>を行うと、【180枚】【180枚】に

分けられます。 360枚について<操作2>を行うと、

【120枚】【120枚】【120枚】に分けられます。360枚について

<操作3>を行うと、【72枚】【72枚】【72枚】【72枚】【72枚】に

分けられます。

 

分け方は、下の図9のようになるので、

Pic_3154a

(1)のようにカタマリとなるのは、【12個】ずつとなります。

(下の図10参照)

Pic_3155a

  

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(2)にて1つのカタマリについて考えると、2,3,5全てで割り切れる最小の数は30なのでカタマリの数は30個だとわかります。一つのカタマリが何枚ずつかについて考えると360÷30=12枚とわかります。

投稿: 万打無 | 2012年11月 9日 (金) 20時19分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
ご指摘を参考に、解答を少し理論的に変えてみました。
いかがでしょうか?
 
わかりやすい解答を心がけたいと思いますので
またお気づきの点がございましたら、
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2012年11月14日 (水) 16時43分

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