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2012年11月15日 (木)

平面図形の長さ 第15問 最短の長さ (駒場東邦中学 受験問題 2006年(平成18年度) 算数)

 

問題 (駒場東邦中学 受験問題 2006年 算数) 

     難易度★★★☆

 

 下の図の三角形ABC は、角Aの大きさが30度、辺BCの長さが

10cmで、その面積は92c㎡ です。辺BC,CA,ABの上にある

点をそれぞれX,Y,Z とします。また、点X の辺AB,AC に関して

線対称となる点をそれぞれP,Q とします。このとき、次の問に

答えなさい。

            Pic_3159q

(1)三角形XYZの周の長さは、4点P,Z,Y,Qを結ぶ折れ線の

   長さに等しくなります。その理由を説明しなさい。

(2)三角形APQはどのような三角形になりますか。その理由も

   説明しなさい。

(3)三角形XYZの周の長さが最も短くなるように、点X,Y,Z の

   位置を決めたとき、その長さを求めなさい。

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解答

 (1)まず、点P,Qの位置は、下の図1のように、点X から

辺AB,AC に垂線を下ろして、交点をそれぞれ点D,E と

したとき、DX=PX、EX=QX となるように垂線を延ばして

いったところになります。

     Pic_3160a

ここで、三角形ZPX、YQX について考えると、下の図2より

     Pic_3161a

点Z から 辺PX に垂線を下ろすと、辺PX が2等分されているので

三角形ZPX は二等辺三角形であるといえます。

同様に、三角形YQX も二等辺三角形であるといえます。

 

よって、XZ=PZ,XY=QY となるので、三角形XYZ の周の長さは

4点P,Z,Y,Q を結ぶ折れ線の長さと等しくなります。

 

 (2)続いて、下の図3のように三角形APX,AQX を考えると

     Pic_3162a

(1)と同様に、頂点A から辺PX,QX に下ろした垂線は、

底辺を二等分しているので、三角形APX,AQX は二等辺三角形

ということがいえます。よって、AP=AX=AQ とわかります。

 

AD,AE は角の二等分線なので、下の図4のように

角XAD=■、角XAE=● とすると、■+●=30°なので

     Pic_3163a

角PAQ=60° とわかります。

 

ゆえに、三角形APQは、AP=AQで、角A=60°の

二等辺三角形、すなわち、正三角形 です。

 

 (3)(1)より、三角形XYZ の周の長さは、PZ+ZY+YQ の

長さに等しいので、この長さが最短となるのは、4点P,Z,Y,Q が

下の図5のように一直線に並んだときで、

Pic_3164a

この長さは正三角形APQ の1辺の長さに等しいです。

 

つまり、三角形AQP の1辺の長さが最も短くなるのが

どんなときかを考えると、AP=AQ=AX なので、

AX の長さが最も短くなるときです。

 

点X は辺BC 上の点なので、AX の長さが最も短くなるのは、

点A と辺BC のキョリが最短となる位置に点X があるときで

点X が点A から辺BC に下ろした垂線との交点にあるときです。

 

このとき、AX の長さは、三角形ABC の面積が92c㎡、

辺BC=10cm なので、

  AX=92×2÷10=18.4cm

と求められ、三角形XYZの周の長さが最短となるとき、

その長さは、18.4cm です。

 

 

 駒場東邦中学の過去問題集は → こちら

 駒場東邦中学の他の問題は → こちら

 

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