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2012年11月22日 (木)

場合の数 第58問 組み合わせ 3の倍数 (聖光学院中学 受験問題 2005年(平成17年度) 算数)

 

問題 (聖光学院中学 受験問題 2005年 算数) 

     難易度★★★☆

 

下のような10個の整数があり、この中から2つの数を

選びます。このとき、次の問に答えなさい。

 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010

 

(1)2つの数の選び方は全部で何組ありますか。

(2)2つの数の差が3の倍数になるのは何組ありますか。

(3)2つの数の和が3の倍数になるのは何組ありますか。

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解答

 (1)10個の中から2個を選ぶ選び方は、

9+8+7+6+5+4+3+2+1=(9+1)×9÷2=45組

あります。

 

 (2)10個の整数は、次のように3つの組に分けることができます。

3で割り切れるもの ・・・ 111

3で割って1余るもの ・・・ 1、10、100、1000

3で割って2余るもの ・・・ 11、101、110、1001、1010

 

2つの数の差が3の倍数になるのは、

 ① 3で割り切れるもの - 3で割り切れるもの

 ② 3で割って1余るもの - 3で割って1余るもの

 ③ 3で割って2余るもの - 3で割って2余るもの

の計算をしたときです。

 

①の場合、3で割り切れるのは、111だけなので、

   111 と 他の数の差が3の倍数になることはありません。

②の場合、3で割って1余る4個から、2個を選ぶので、

   4×3÷2=6組 あります。

③の場合、 3で割って2余る5個から、2個を選ぶので、

   5×4÷2=10組 あります。

 

よって、2つの数の差が3の倍数になるのは、

   6+10=16組

あります。

 

 (3)2つの数の和が3の倍数になるのは、

① 3で割り切れるもの + 3で割り切れるもの

② 3で割って1余るもの + 3で割って2余るもの

の計算をしたときです。

 

①の場合、3で割り切れるのは、111だけなので、

   111と他の数の和が3の倍数になることはありません。

②の場合、3で割って1余る4個から1個を選び、

       3で割って2余る5個から1個を選ぶので、

   4×5=20組 があります。

 

よって、2つの数の和が3の倍数になるのは、20組 です。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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