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2012年10月11日 (木)

平面図形の角度 第78問 (渋谷教育学園渋谷中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (渋谷教育学園渋谷中学 受験問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★

 

正五角形ABCDE があります。下の図のように、辺BC上の点P,

辺DE上の点Qについて、CD とPQ が平行になるように正五角形

ABCDE をPQ で折ったところ、点A,B,E はそれぞれ点A’,B’,

E’に移りました。また、点B’,C,D,E’の4つの点は、点A を

中心とする同じ円の円周上にありました。このとき、角アの大きさ

を求めなさい。

Pic_3115q

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解答

 まず、正五角形の1つの角度が108°ということを利用して、

下の図1のように

Pic_3116a

三角形ABC が二等辺三角形なので、

          角BCA=(180-108)÷2=36°

角BPQ=108°なので、

          角BPB’=(180-108)×2=144°

    そこから、角B’PC=180-144=36°

ということがわかります。

 

角B’PC = 角BCA = 36° ということから、

錯角が等しいので B’P とACが平行であることがわかり、

求める 角ア=角B’AC ということになります。(錯角)

まず、この点に気付きましょう。

 

 点B’,C,D,E’ が同一円周上にあるので、頂点A と結ぶと

下の図2のように、AB’,AC,AD,AE’が長さが等しくなり、

Pic_3117a

図形の対称性から、角ア=角B’AC=角E’AD となります。

(なお、【図形の対称性から】という言葉は便利なので覚えましょう)

 

また、AC=AD=BE=B’E’ なので、下の図3のように、

三角形AB’E’が正三角形ということがわかります。

Pic_3118a

この点に気付けるかどうかもポイントです。

先に進めなくなったら、同じ長さの線が他にないか探しましょう。

 

ゆえに、求める角アの大きさは、角B’AE’=60°より、

     (60-36)÷2=12°

となります。

 

 

 渋谷教育学園渋谷中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園渋谷中学の他の問題は → こちら

 

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