計算問題 第８６問 （約束記号） （本郷中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（本郷中学　入試問題　2012年　算数）　難易度★★★★

ある数 Ａ の整数部分を ＜Ａ＞ と書くことにします。

たとえば、＜３．１４＞＝ ３ となります。

このとき次の問に答えなさい。

（１） ＜ （ ３×Ｎ　－　１）÷７ ＞ ＝ ２ となる整数Ｎ をすべて

　　　求めなさい。

（２）＜５/６＞＋＜１０/６＞＋＜１５/６＞＋＜２０/６＞＋・・・

　　　　　　・・・＋＜３６０/６＞＋＜３６５/６＞ を求めなさい。

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解答

　（１） ３×Ｎ　－　１　＝　１４以上２１未満　なら

＜ （ ３×Ｎ　－　１）÷７ ＞ ＝ ２　となるので、

　　３×Ｎ　＝　１５以上２２未満　ならよく、

　　Ｎ＝５以上２２/３未満　となります。

このような整数Ｎは、５，６，７ の３個になります。

　（２）３６５÷５＝７３個の和を求めることになります。

分子は５ずつ増え、分母は６なので、５と６の最小公倍数の３０

まで調べれば、何か見えるのではないかと思うので、１個目から

調べてみると、

　　＜５/６＞＝０　　　　＜３５/６＞＝５　　　＜６５/６＞＝１０

　　＜１０/６＞＝１　　　＜４０/６＞＝６

　　＜１５/６＞＝２　　　＜４５/６＞＝７

　　＜２０/６＞＝３　　　＜５０/６＞＝８

　　＜２５/６＞＝４　　　＜５５/６＞＝９

　　＜３０/６＞＝５　　　＜６０/６＞＝１０

のようになっています。

求める和は、

　　１＋２＋３＋４＋５＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１０＋１１＋・・・

となっていて、５の倍数の数だけ、普通の１＋２＋３＋・・・　よりも

余計にあることがわかります。

　　＜３６０/６＞＝６０、　＜３６５/６＞＝６０　

なので、求める和は、

　（１＋２＋３＋４＋５＋６＋・・・＋６０）＋（５＋１０＋１５＋・・・＋６０）

＝（１＋６０）×６０÷２　＋　（５＋６０）×１２÷２

＝１８３０＋３９０

＝２２２０

と求められます。

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