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2012年10月30日 (火)

最短ルート 第8問 (函館ラ・サール中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (函館ラ・サール中学 入試問題 2011年 算数)

     難易度★★★

 

下の図1のような円すいがあります。図2はこの円すいの展開図

です。この円すいの側面上に、点A から点B まで糸が最短に

なるように巻くと、糸の長さは25cm になりました。このとき、

次の問に答えなさい。

  Pic_3133q

(1)底面の円の半径は何cmですか。

(2)糸上の点と、点Oを結んだ線のうち、一番短い線の長さは

   何cm ですか。

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解答

 (1)展開図の扇形の弧の長さは、

     20×2×3.14×90/360=10×3.14(cm)

となります。

 

底面の円の半径=□cmとすると、

底面の円の円周の長さ=扇形の弧の長さ なので、

     □×2×3.14=10×3.14(cm)

となり、□=5cm とわかります。

 

 (2)糸が最短になるのは、展開図で点A と点B を直線で

結んだ線と糸が一致するときです。

 

糸と点Oを結んだ線のうち、一番短くなる線は、

下の図3のように、直線ABに点Oから垂線を

下ろしたときです。( 参考 → 点と直線の距離について

  Pic_3134a_2

このOPの長さを求めることになります。

 

すると、三角形OABと三角形PAOが相似で、相似比は

AB=25cm、OA=15cm より、25:15=5:3 です。

求めるOPに相当するのは三角形OABの辺OBなので、

 20 : OP = 5 : 3 より、OP=12cm

と求められます。

 

 

 函館ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 函館ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

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