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2012年10月17日 (水)

規則性の問題 図形 第27問 (江戸川学園取手中学 入試問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (江戸川学園取手中学 入試問題 2011年 算数)

     難易度★★★

 

下の図1のように、◎地点をスタートとして、線が1cmのびる

ごとに●印または△印をかきます。

     Pic_3122q

●印のときは線が2つに分かれ、また1cmのびます。

△印のときはこれ以上線はのびません。また、どの2本の線も

交わることはないとします。

  たとえば、◎地点から3cmのびたときの図の1つとして

下の図2のようなものがあります。

        Pic_3123q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)すべての△印が◎地点から6cm離れていました。このとき

   △印は何個ありますか。また、線の長さは全部で何cm

   ですか。

(2)△印が全部で128個あります。すべての△印が◎地点から

   同じ距離にあるとき、線の長さは全部で何cmですか。

(3)◎地点から最も離れた位置にある△印は、◎地点から

   10cm離れていました。線の長さは全部で何cm以上

   何cm以下と考えられますか。

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解答

 (1)◎地点から2cmで2個、3cmで4個、4cmで8個、と

2倍、2倍となっていくので、△印が全て、◎地点から6cm

離れたところにあるときの△印の個数は、

     2×2×2×2×2=32個

となります。

 

線の長さの和については、下の図3のように

         Pic_3124a

◎地点から1cm目の●印までは、1cm

◎地点から1cm目の●印から2cm目の●印までは

  線が2本あるので2cm

◎地点から2cm目の●印から3cm目の●印までは

  線が4本あるので4cm

というようになっていて、◎地点から6cm目の△印までの線の

長さの和は、1+2+4+8+16+32=63cm となります。

 

 (2)(1)より、△印の個数は、2倍、2倍となっていくので、

何回2倍にしたのかを調べればよいです。

 

 128=2×2×2×2×2×2×2

と、7回2倍していて、以下のように

  3cm ・・・ 2回

  4cm ・・・ 3回

  5cm ・・・ 4回

  6cm ・・・ 5回

となっているので、7回2倍するのは、7+1=8cm 離れた

ところまで△印があるときです。

 

すべての線の長さの和は、(1)を参考に求めると、

 (1)の63cm+64+128=255cm

となります。

    

 (3)線の長さが最も長いときは、すべての△印が◎地点から

10cm離れているときで、(2)を参考に求めると、

 (2)の255cm+256+512=1023cm

となります。

 

線の長さが最も短いときは、下の図4のように

      Pic_3125a

●印で片方が△印になり、もう片方が●印になるように

線をのばす場合で、

  1+2+2+・・・+2=1+2×9=19cm

になります。

 

よって、線の長さは、19cm以上1023cm以下

なります。

 

 

 江戸川学園取手中学の過去問題集は → こちら

 江戸川学園取手中学の他の問題は → こちら

 

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