場合の数 並べ方 第６０問 （桐光学園中学 受験算数問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（桐光学園中学　受験算数問題　2011年　算数）　

　　　　 難易度★★★★

的に球を当てると球の当たった的が落ちるゲームがあります。

意図でつながっている的は、その上にある的に球が当たると

上の的といっしょに落ちる仕掛けになっています。ただし、球は

必ず１つの的に当たることとします。たとえば、下の図１では、

すべての的を落とす方法は、Ａ，Ｂ の順に当てる方法と、Ｂに

当てる方法の２通りがあります。このとき、次の問に答えなさい。

（１）図２では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

（２）図３では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

（３）図４では、すべての的を落とす方法は何通りありますか。

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

　（１）図２の場合、１回ですべての的を落とす方法は、

Ｃに球を当てればよいです。

次に、２回ですべての的を落とす方法は、

　Ｂ　→　Ｃ の順に球を当てる

　Ａ　→　Ｃ の順に球を当てる

の２通りがあります。

最後に、３回ですべての的を落とす方法は、

　Ａ　→　Ｂ　→　Ｃ の順に球を当てる

ということになります。

よって、図２の場合、すべての的を落とす方法は、

　１＋２＋１＝４通り

となります。

　（２）４個の的があるので、最大で４回、球を当てることになります。

図３の場合、左にあるＡの的をどのように落とすかがポイントと

なります。

右の３つの的を落とす方法は、（１）で調べた通りです。

そこに、左のＡの的の落とし方を加えて調べると、

２回ですべての的を落とす方法は、

　Ａ　→　Ｄ の順に球を当てる

　Ｄ　→　Ａ の順に球を当てる

の２通りがあります。

３回ですべての的を落とす方法は、

　（１）より、Ｂ → Ｄ 、Ｃ → Ｄ の２通りの順番のどこに Ａ が

　入るかを考えて、１番目、２番目、３番目 の３通りがそれぞれ

　あります。

　Ａ　→　Ｂ　→　Ｄ 、　Ｂ　→　Ａ　→　Ｄ 、　Ｂ　→　Ｄ　→　Ａ

　Ａ　→　Ｃ　→　Ｄ 、　Ｃ　→　Ａ　→　Ｄ 、　Ｃ　→　Ｄ　→　Ａ

の、３×２＝６通りがあります。

４回ですべての的を落とす方法は、

　（１）の Ｂ　→　Ｃ　→　Ｄ の順のどこにＡが入るかで、

１番目、２番目、３番目、４番目の４通りが考えられます。

以上より、図３の場合、すべての的を落とす方法は、

　２＋６＋４＝１２通り

となります。

　（３）５個の的があるので、最大５回、球を当てる場合があり、

最小で２回、球を当てればすべての球が落ちます。

２回ですべての球を落とすには、

　Ｂ　→　Ｅ　または　Ｅ　→　Ｂ　

に当てる２通りの場合があります。

３回ですべての球を落とすには、次のような球の当て方があり、

　【Ａ，Ｂ，Ｅ】に当てる場合　：　Ａ→Ｂ→Ｅ、Ａ→Ｅ→Ｂ、Ｅ→Ａ→Ｂ

　【Ｂ，Ｃ，Ｅ】に当てる場合　：　Ｂ→Ｃ→Ｅ、Ｃ→Ｂ→Ｅ、Ｃ→Ｅ→Ｂ

　【Ｂ，Ｄ，Ｅ】に当てる場合　：　Ｂ→Ｄ→Ｅ、Ｄ→Ｂ→Ｅ、Ｄ→Ｅ→Ｂ

の９通りの球を当てる順番が考えられます。

４回ですべての球を落とすには、

　【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ】に当てる場合

　【Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ】に当てる場合

　【Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ】に当てる場合

の３通りの球の当て方があり、球を当てる順番は

　【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ】に当てる場合

Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｅ、Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｅ、Ａ→Ｃ→Ｅ→Ｂ、

Ｃ→Ｅ→Ａ→Ｂ、Ｃ→Ａ→Ｂ→Ｅ、Ｃ→Ａ→Ｅ→Ｂ

　【Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ】に当てる場合　

　 →　【Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｅ】の場合と同様に６通り

　【Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ】に当てる場合

Ｃ→Ｄ→Ｅ　の順番のどこにＢを入れるかで、４通り

以上より、４回ですべての球を落とすには、６＋６＋４＝１６通り

の球を落とす順番が考えられます。

５回ですべての球を落とすには、下から順に球を当てるので、

Ｂ→Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｅ、

Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｅ、Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｅ、Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ａ

Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｂ→Ａ、Ｃ→Ｄ→Ｂ→Ａ→Ｅ、Ｃ→Ｄ→Ｂ→Ｅ→Ａ

Ｃ→Ｂ→Ａ→Ｄ→Ｅ、Ｃ→Ｂ→Ｄ→Ａ→Ｅ、Ｃ→Ｂ→Ｄ→Ｅ→Ａ

の１０通りの球を落とす順番が考えられます。

以上より、図４の的をすべて落とす方法は、

　２＋９＋１６＋１０＝３７通り

となります。

　桐光学園中学の過去問題集は　→　こちら

　桐光学園中学の他の問題は　→　こちら