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2012年10月29日 (月)

場合の数 並べ方 第62問 (清風南海中学 入試問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (清風南海中学 入試問題 2010年 算数) 

     難易度★★★☆

 

上から球を入れると、次の規則に従って下から球を出す2種類の

箱A,Bがたくさんあります。

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【規則】

箱 A : 上から入ってきた球に2個加えた個数の球を下から出す。

箱 B : 上から入ってきた球の個数が3で割って1余るときは1個、

     3で割って2余るときは2個、3で割って割り切れるときは

     3個の球をそれぞれ下から出す。

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これらの箱はいくつも重ねることができ、箱を重ねた場合、上の

箱から出てきた球はそのまま下の箱に入るものとします。例えば

上から箱を A-B と重ねて 3個の球を一番上から入れると、

箱A の下から5個の球が出てきて、それが箱Bに入るので

一番下からは2個の球が出てきます。

 このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)箱を上から B-A-B と重ねて10個の球を一番上から

   入れると、一番下からは何個の球が出てきますか。

(2)箱を上から A-A-B と重ねていくつかの球を一番上から

   入れると、一番下からは1個の球が出てきました。一番上に

   入れた球の個数が10個以下であったとすると、考えられる

   個数は全部で3通りあります。これらをすべて答えなさい。

(3)箱を4つ重ねて20個の球を一番上から入れたとき、一番下

   からは1個の球が出てくるような箱の重ね方は何通りですか。

(4)箱を5つ重ねて20個の球を一番上から入れると、一番下

   からは3個の球が出てくるような箱の重ね方は何通りですか。

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解答

 (1)箱を上から B-A-B と重ねて、10個の球を入れると

10 → 1 → 3 → 3 となり、3個の球が出てきます。

 

 (2)Bから1個の球が出てくるとき、Bに入る球の個数として

考えられるものは、小さい方から順に1,4,7,10,13個 です。

A から出てくるものとしては、1個ということはあり得ないので、

Bに入る球の個数として考えられるものは、小さい方から順に

4,7,10,13個 となります。

 

2番目のA に入る球の個数としては、出てくる数(Bに入る数)から

2個減らして、2,5,8,11個 となります。

 

1番目のA に入る球の個数としては、出てくる数(2番目のAに入る

数)から2個減らして、0,3,6,9個 となります。

 

入れる数として 0個 というのは何も入れないことなってしまうので

一番上に入れた数として考えられるものは、3,6,9個 です。

 

 (3)一番下から1個の球が出てくるので、一番下の4番目の箱は

Bの箱になり、イメージとしては下の図1のようになります。

          Pic_3131a

1番目の箱がBのとき、2番目と3番目は、A,B またはB,A なら

最後に1個の球が出てきます。

 

1番目の箱がAのとき、2番目と3番目は、B,B なら、最後に1個

の球が出てきます。

 

よって、箱の積み方は、

 【B→A→B→B】、【B→B→A→B】、【A→B→B→B】の3通り

になります。

 

 (4)一番下から3個の球が出てくるので、一番下の5番目は

A,B どちらも可能性があります。

 

5番目がAの箱のとき、4番目の箱から出てくる玉は1個なので、

これは(3)で求めた3通りの箱の積み方になります。

 

5番目がBの箱のとき、下の図2のようなイメージになります。

          Pic_3132a

まず、1番目がBの場合、2個の球を最後に3個にするには、

 B → 2個 → 2個 → 4個 → 6個 → 3個 【BBAAB】

 B → 2個 → 4個 → 6個 → 3個 → 3個 【BAABB】

 B → 2個 → 4個 → 1個 → 3個 → 3個 【BABAB】

という 3通りの箱の積み方があることがわかります。

 

次に、1番目がAの場合、22個の球を最後に3個にするには、

 22個 → 24個 → 3個 → 3個 → 3個 【AABBB】

 22個 →  1個 → 3個 → 3個 → 3個 【ABABB】

 22個 →  1個 → 1個 → 3個 → 3個 【ABBAB】

 22個 →  1個 → 1個 → 1個 → 3個 ((3)のもの)

という 3通りの箱の積み方があることがわかります。

 

よって、3+3+3= 9通り の箱の積み方があります。 

 

 

 清風南海中学の過去問題集は → こちら

 清風南海中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(4)の問題で最後の箱がBである場合について考える場合は、数の本質は3で割った余りということになり、本質的には数は1,2,3の三種類しかないことになります。
そのように考えるとAの操作は元の数に2を足して3で割った余り(余り0は余り3と扱う)に変える事であり、Bの操作は元の数に変化を与えないことになります。
20は3で割ると余りが2なので本質的には2という扱いになり、これに何回Aの操作をすると3になるかを考えることになります。操作回数は4回以下なので2回になります。
4回の内A2回B2回なのでその組み合わせは4×3÷2=6で6通りになります。

投稿: 万打無 | 2012年10月29日 (月) 20時45分

万打無さま、コメントありがとうございます。
 
20に対して、「A」を2回、「B」を2回
経由すれば、順番に関係なく4回終了後に
「3」になっていることに気付けば
その求め方が有効ですね。
「B」では「変化しない」という理解がポイントですね。
今後はよりすっきりした解法を心がけたいと
思います。
 
またお気づきの点などがございましたら
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2012年11月 7日 (水) 16時50分

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