規則性の問題 数の並び 第５６問 （慶應義塾湘南藤沢中等部 入試問題 2008年（平成20年度） 算数）

問題　（慶應義塾湘南藤沢中等部　入試問題　2008年　算数）

　　　　 難易度★★★

２，４，８，１６，・・・，のように、２をいくつかかけ合せた数の

チーム数が参加するトーナメント（勝ち抜き戦）を考えます。

１つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す各数字

をすべて加えた数を Ｎ で表します。

　たとえば、チーム数が８のときには、下の図のようなトーナメント

になり、１回戦が４試合、２回戦が２試合、３回戦が１試合行われ、

　 Ｎ＝１＋１＋１＋１＋２＋２＋３＝１１

となります。このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　　　

（１）チーム数が１６のトーナメントでは、Ｎはいくつになりますか。

（２）６回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Ｎはいくつに

　　 なりますか。

（３）あるチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝４０８３ になりました。

　　 この２倍のチーム数のトーナメントでは、Ｎ＝８１７８ に

　　 なります。Ｎ＝４０８３ となるときのチーム数を求めなさい。

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解答

　（１）チーム数が　８→１６　に増えるとき、下の図１のような

トーナメントになり、

　　　　　

赤い文字の部分が増えます。これは、８チームのときと同じ

トーナメントが増え、４回戦がさらに加わるという形で、

　　　Ｎ＝１１×２＋４＝２６

と求められます。

　（２）（１）と同様に考えると、５回戦が決勝戦のときは、

　　　Ｎ＝２６×２＋５＝５７

６回戦が決勝戦のときは、

　　　Ｎ＝５７×２＋６＝１２０

と求められます。

　（３）４０８３×２＋□＝８１７８　より、□＝８１７８－８１６６＝１２

このことから、Ｎ＝８１７８ のときは１２回戦が決勝戦のときで、

Ｎ＝４０８３ のときは１１回戦が決勝戦とわかります。

チーム数と、決勝戦が何回戦かの関係は、

　　　　２　を　回戦の数　かけたもの　＝　チーム数

となっているので、Ｎ＝４０８３ のときのチーム数は、

２を１１回かけて

　２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２＝６４×３２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝２０４８

と求められます。

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