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2012年9月21日 (金)

場合の数 第57問 (筑波大学附属駒場中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2009年 受験問題 算数)

     難易度★★★★★

 

表裏のあるカード6枚が、すべて表を上にして重ねてあります。

このカードに次の操作を何回か行います。

 

操作:サイコロを投げて、出た目の数と同じ枚数だけカードを

    上から取り、まとめたまま裏返して元にもどす。

 

表が上のカードを○、裏が上のカードを×で表すと、たとえば

操作を2回行い、サイコロの出た目の数が順に (2→5)の

とき、カードは下の図1のようになっていきます。

Pic_2633q

操作を始める前、カードは6枚とも表が上になっているもの

として、次の問に答えなさい。

 

(1)操作を3回行い、サイコロの出た目は順に (1→2→3)

   でした。カードはどのように重なっていますか。図1のように

   ○、×で図に表しなさい。

(2)操作を何回か行ったところ、カードは下の図2のように

   重なっていました。

              Pic_2634q

   (ア)操作を何回行いましたか。考えられる回数のうち、

     最も少ない回数を答えなさい。

   (イ)(ア)のとき、サイコロの目はどのように出ましたか。

     出た目の数を(△→□→・・・)のように書き、考えられる

     ものをすべて答えなさい。

(3)操作を何回か行ったところ、カードは下の図3のように

   重なっていました。

              Pic_2635q

   (ア)操作を何回行いましたか。考えられる回数のうち、

     最も少ない回数を答えなさい。

   (イ)(ア)のとき、サイコロの目の出方は何通り考えられ

     ますか。

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解答

 (1)操作の文にある「裏返す」ということが、「ひっくり返って

裏返る」ということなので、サイコロが(1→2→3)の順に出ると、

下の図4のようにカードの状態が変わっていきます。

Pic_2636a

 (2)(ア)図2の1つ前のカードについて考えると、下の図5の

ようになります。(上の数字は、出ればよいサイコロの目です)

Pic_2637a

図5の6通りのうち、最も簡単そうなのは、サイコロの目が

3が出ればよいときです。これについて考えると、下の図6

のようになり、

Pic_2638a

3回で図2のようにカードが重なることがわかります。

図5より、2回で図2のようにカードが重なることは不可能なので、

最も少ない回数は、3回ということになります。

 

 (2)(イ)1回目の操作では、カードは下の図7の6通りのどれか

のように重なります。

 Pic_2639a

これに対し、図5の6通りの1つ前が、図7の6通りのどれかに

なれば、3回で図2の重なり方になることになります。

 

すると、図5の1の目の場合だけが、下の図8のように、

3回で図2の重なり方になります。

Pic_2640a

よって、カードが図2のような重なり方になるサイコロの目の数の

出方は、(3→2→1)または(2→1→3)です。

 

 

 (3)(ア)図3から逆算して、図7の1~6のどれかの形にする

ということを目標とします。

 

図3では、上から5枚目が×になっているので、サイコロの「5」

の目が出ていることがわかります。

 

図3では、一番上が○なので、図3の直前にサイコロの「5」が

出ると、直前も上から5枚目が×ということになるので、

下の図9のように、一番上を×に直すため、直前はサイコロの

「1」として考えてみると、

Pic_2641a

図9のように、4回で図3のような重なり方にすることができる

ということがわかります。

 

では、3回でできるのかどうか、が問題となります。

2回では不可能です。1回目または2回目にサイコロの「5」が

出たとしても、最初の状態とつなげることができません。

 

図3の1回前の状態を考えると、下の図10のようになります。

  Pic_2642a

図7の6通りの状態から、図10の6通りの状態のどれかに

することは、無理なので、3回の操作で図3の重なり方にする

ことはできません。よって、最も少ない回数は4回です。

 

 

 (3)(イ)図10より、図3の直前のサイコロの目は、

「2」と「4」以外です。

 

直前のサイコロの目が「6」の場合、3回目の操作では、

サイコロの出る目によって下の図11のようになり、 

  Pic_2643a

図11の1~6の6通りの直前を図7の1~6のどれかにすることは

できません。同様に検証すると、図10で直前のサイコロが「5」の

場合も、4回の操作で図3の重なり方にすることはできません。

 

よって、図3の直前は、図10の1または3ということになります。

そこから、図7につながるように、○、×が連続するようにすると

下の図12のような場合が考えられます。

Pic_2644a

よって、サイコロの目の出方は、図12の3通りと、図9の1通り、

合計4通り です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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