場合の数 第５６問 式を成立させる （暁星中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（暁星中学　入試問題　2012年　算数）　難易度★★★★

１以上の整数 Ｘ が、２以上の整数 Ｙ で割り切れる回数を

［Ｘ，Ｙ］で表すことにします。たとえば、６は２で１回割り切れる

ので、［６，２］＝１、３６は６で２回割り切れるので［３６，６］＝２、

４は３で割り切れないので［４，３］＝０ となります。このとき、

次の問に答えなさい。

（１）［Ｘ，２］＝２、［Ｘ，３］＝３ のとき、［Ｘ，６］を求めなさい。

（２）［Ｘ，４］＝３ のとき、［Ｘ，８］を求めなさい。

（３）［Ｘ，８］×［Ｘ，３２］＝６ のとき、［Ｘ，２］として考えられる

　　 数をすべて答えなさい。

（４）［Ｘ，８］÷［Ｘ，３２］＝２ のとき、［Ｘ，２］として考えられる

　　 数は何通りありますか。

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解答

　（１）［Ｘ，２］＝２、［Ｘ，３］＝３ より、

Ｘ は２で２回割り切れ、３で３回割り切れるので、

　　　Ｘ ＝２×２×３×３×３×□　（□は２，３の倍数以外の整数）

と因数分解した形で表すことができます。これは、２×３＝６に直し、

　　　Ｘ ＝６×６×３×□　（□は２，３の倍数以外の整数）

と表すことができ、Ｘ は ６で２回割り切れることがわかります。

よって、［Ｘ，６］＝２ となります。

　（２）［Ｘ，４］＝３ より、

　　　　Ｘ ＝４×４×４×□　（□は４の倍数以外の整数）

と表すことができます。ここで、４×４×４＝６４ なので、

　　　　Ｘ ＝６４×□

と直すことができ、Ｘ は８で２回割り切れることがわかります。

（８は４の倍数なので、□には８の倍数は入らない）

よって、［Ｘ，８］＝２ です。

　（３）［Ｘ，８］×［Ｘ，３２］＝６ より、

［Ｘ，８］、［Ｘ，３２］の組み合わせとして、

　　　　①［Ｘ，８］＝１、［Ｘ，３２］＝６
　　　　②［Ｘ，８］＝２、［Ｘ，３２］＝３
　　　　③［Ｘ，８］＝３、［Ｘ，３２］＝２
　　　　④［Ｘ，８］＝６、［Ｘ，３２］＝１

の４通りが考えられますが、３２は８の倍数なので、

３２で割り切れる回数が、８で割り切れる回数より多いことは

ありえませんので、①と②は不適切です。

また、④の［Ｘ，８］＝６ ということは、

　Ｘ＝８×８×８×８×８×８×□
　　＝  ６４ × ６４ ×  ６４  ×□
　　＝（３２×２）×（３２×２）×（３２×２）×□

と Ｘ を表すことになり、３２で３回割り切れるので、

［Ｘ，３２］＝１にはならず、④も不適切です。

残った ③ の［Ｘ，８］＝３、［Ｘ，３２］＝２　について考えます。

［Ｘ，８］＝３ より、Ｘ＝８×８×８×□　（□は８の倍数以外の整数）
　　　　　　　　　　　 ＝  ６４ ×８×□
　　　　　　　　　　　 ＝（３２×２）×８×□
　　　　　　　　　　　 ＝  ３２ × １６  ×□　・・・　（Ａ）

［Ｘ，３２］＝２ より、Ｘ＝３２×３２×△　・・・　（Ｂ）
　　　　　　　　　　　（△は３２の倍数以外の整数）

と Ｘ を表すことができます。

（Ａ）と（Ｂ）を比べると、□＝２×△　ということがわかります。

すなわち、Ｘ＝８×８×８×２×△ です。

　８＝２×２×２　なので、このとき Ｘ は２で１０回割り切れます。

［Ｘ，８］＝３ なので、△＝２×○ と直せるものでも大丈夫で、

　Ｘ＝８×８×８×２×２×○ となり、

このとき Ｘ は２で１１回割り切れます。

　○＝２×☆ としてしまうと、Ｘ＝８×８×８×８×☆ となってしまい

［Ｘ，８］＝４ となるので、不適切です。

よって、［Ｘ，２］＝１０または１１ となります。

　（４）［Ｘ，８］÷［Ｘ，３２］＝２ より、

［Ｘ，８］、［Ｘ，３２］の組み合わせとして、

　　　　①［Ｘ，８］＝２、［Ｘ，３２］＝１
　　　　②［Ｘ，８］＝４、［Ｘ，３２］＝２
　　　　③［Ｘ，８］＝６、［Ｘ，３２］＝３
　　　　④［Ｘ，８］＝８、［Ｘ，３２］＝４

のように、無限に考えることができそうに思うかもしれませんが、

どこかに限界がないのか考えていきましょう。

まず、３２＝８×４ であることに注目すると、

　①［Ｘ，８］＝２、［Ｘ，３２］＝１ のとき、

　　　Ｘ＝８×８×□　（□は　８の倍数以外の整数）
　　　Ｘ＝８×４×△　（△は３２の倍数以外の整数）

と表すことができ、△＝２×□ とわかります。

（３）と同様に考えると、□＝２×○、２×２×☆ と直すことが

できるので、［Ｘ，２］として考えられる数は ３通り あります。

　②［Ｘ，８］＝４、［Ｘ，３２］＝２ のとき、

　　　Ｘ＝８×８×８×８×□
　　　Ｘ＝８×４×８×４×△＝８×８×８×２×△

と表すことができ、△＝４×□ とわかります。

やはり、（３）と同様に考えると、□＝２×○、２×２×☆ と直す

ことができるので、［Ｘ，２］として考えられる数は ３通り です。

　③［Ｘ，８］＝６、［Ｘ，３２］＝３ のとき、

　　　Ｘ＝８×８×８×８×８×８×□
　　　Ｘ＝８×４×８×４×８×４×△
　　　　＝８×８×８×８×８×△

と表すことができ、△＝８×□ とわかります。

（３）と同様に考えて、□＝２×○、２×２×☆ と直すと、

△＝１６×○、３２×☆ となり、３２×☆は不適切です。

（△が３２の倍数となってしまい、［Ｘ，３２］＝４になってしまう）

よって、この場合、［Ｘ，２］として考えられる数は ２通り です。

　④［Ｘ，８］＝８、［Ｘ，３２］＝４ のとき、

　　　Ｘ＝８×８×８×８×８×８×８×８×□
　　　Ｘ＝８×４×８×４×８×４×８×４×△
　　　　＝８×８×８×８×８×８×４×△

と表すことができ、△＝１６×□ とわかります。
（限界：△＝３２×□ が見えてきました）

（３）と同様に考えると、□＝２×○ とすることもできず、
（△＝３２×○ となり、３２の倍数になってしまうので）

［Ｘ，２］として考えられる数は １通り です。

　⑤［Ｘ，８］＝１０、［Ｘ，３２］＝５ のとき、

　　　Ｘ＝８×８×８×８×８×８×８×８×８×８×□
　　　Ｘ＝８×４×８×４×８×４×８×４×８×４×△
　　　　＝８×８×８×８×８×８×８×８×２×△

と表すことができ、△＝３２×□ とわかりますが、

△は３２の倍数ではないので、不適切です。

［Ｘ，３２］＝５以上になると、不適切になることがわかりました。

よって、）［Ｘ，８］÷［Ｘ，３２］＝２ のとき、［Ｘ，２］として

考えられる数は、①、②、③、④の場合の合計で、

　 ３＋３＋２＋１＝９通り

あります。

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