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2012年9月10日 (月)

論理 第24問 (青山学院中等部 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (青山学院中等部 入試問題 2012年 算数) 

     難易度★★★☆

 

長さ 1m と 1.5m の2種類の棒を何本か使って、下の図の

ような長方形を作ります。長方形の面積が 60㎡ のとき、次の

問に答えなさい。

  Pic_3047q

(1)長方形の周りの長さが最も短くなるのは、何m のときですか。

(2)棒の本数を一番少なく使うときの合計は何本ですか。

(3)(2)のとき、1m の棒を最も少なく使うとき、1mの棒を

   何本使いますか。

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解答

 (1)長方形の面積が 60㎡ のとき、

      【 たて 】 × 【 よこ 】 = 60 です。

また、周りの長さ = ( 【 たて 】 + 【 よこ 】 ) × 2 です。

 

【 たて 】、【 よこ 】の組み合わせは、

  60×1 、 20×3 、 6×10 、・・・ 

など考えられますが、周りの長さが最も短くなるのは、

【 たて 】と【 よこ 】の長さの和が最も小さくなるときです。

上の例から、【 たて 】 と 【 よこ 】 の長さが近づくほど

長さの和が小さくなっていることがわかります。

( 60+1=61、 20+3=23 、 6+10=16)

 

棒の長さが 1m と 1.5m の2種類あることに注意すると、

【 たて 】 と 【 よこ 】 の長さの和が 6m と 10m より

小さくなることがあるかどうか調べると、

 1辺が6.5mの場合 → 60÷6.5→ 割り切れない

 1辺が7mの場合 → 60÷7→ 割り切れない

 1辺が7.5mの場合 → 60÷7.5=8

 1辺が8mの場合 → 60÷8=7.5

 1辺が8.5mの場合 → 60÷8.5→ 割り切れない 

 1辺が9mの場合 → 60÷9→ 割り切れない

 1辺が9.5mの場合 → 60÷9.5→ 割り切れない

以上より、【 7.5m 】と【 8m 】のときが最も短くなり、

周りの長さは、(7.5+8)×2=31m となります。

 

 (2)棒の本数を少なくするには、1mの棒よりも1.5mの棒を

できるだけ多く使うといいですね。

 

(1)と同様に、【 たて 】と【 よこ 】の長さが近いほど、

用いる棒の本数が少なくなりますね。

(棒の本数が少ない → 周の長さが短くなる)

 

【 たて 】=7.5m 【 よこ 】=8m のとき、

 7.5÷1.5=5本

 6m+2m → 6÷1.5+2÷1=6本

 たて、よこ合わせて、11本となります。

よって、棒の本数を一番少なく使うときの合計は、

 11×2=22本 です。

 

(3)11本の棒を用いるとき、(2)では、1mの棒は2本必要でした。

ほかに、11本の棒で長方形を作れるかどうかです。

 

短いほどよいので、【 たて 】=6m、【 よこ 】=10m のときは、

  6÷1.5=4本

  9+1 → 9÷1.5=6本、1÷1=1本

 合計11本 で作れることがわかります。

このとき、1mの棒は、1本しか使いません。

 

1mの棒を0本、つまり1本も用いずに、面積60㎡の長方形を

作ることができるかどうか調べます。

 

【 たて 】+【 よこ 】=11本×1.5m=16.5m です。

 1本×10本= 1.5×15 → 60にならない

 2本×9本 = 3×13.5 → 60にならない

 3本×8本 = 4.5×12 → 60にならない

 4本×7本 = 6×10.5 → 60にならない

 5本×6本 = 7.5×9 → 60にならない

どれも面積が60㎡になりません。

 

よって、1mの棒を最も少なく使うときは、1×2=2本使うときです。

 

 

 青山学院中等部の過去問題集は → こちら

 青山学院中等部の他の問題は → こちら

 

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