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2012年9月12日 (水)

平面図形の角度 第77問 (開智中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (開智中学 入試問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

下の図1のように円周上の5つの点を、数字の順に線で結ぶと

図2のような星形ができます。ただし、最後の数字と①も線で

結ぶこととします。図2の①②③④⑤にできた角の大きさの和は

180°です。この例を参考にして、以下の問に答えなさい。

Pic_3074q

(1)下の図3の円周上の8つの点を数字の順に線で結び星形を

   作るとき、①~⑧にできる角の大きさの和は何度ですか。

        Pic_3075q

(2)下の図4と図5では円周上に7つの点を取りますが、線で

   結ぶ順番が異なります。図4の①~⑦にできる角の大きさ

   の和と、図5の①~⑦にできる角の大きさの和の比は

   何対何ですか。最も簡単な整数の比で表しなさい。

        Pic_3076q

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解答

 (1)図3に星形の線を引くと、下の図6のようになります。

       Pic_3077a_2

図2の星形の角度の和が180°であることを利用すると、

下の図7の色のついた角度の和が180°ということになります。

       Pic_3078a

残りの角度の和は、下の図8の赤い角の和と青い角の和が

等しいことから、

       Pic_3079a_2

下の図9の三角形⑥⑦⑧の角度の合計:180度となり、

       Pic_3080a

図6の角①~⑧の大きさの和は、180+180=360度

ということがわかります。

 

 (2)図4,5に星形の線を引くと、下の図10,11のようになり、

       Pic_3081a

図10では、 (1)の図8と同じ手法を用いて、下の図12の

赤い角の和と青い角の和が等しいので、

       Pic_3082a

角の大きさの和は、下の図13のように

       Pic_3083a

1つの四角形と1つの三角形の角度の和に等しく、

    180+360=540度

とわかります。

 

図11の星形の角度の和は、七角形の内角の和なので、

    180×(7-2)=900度

となります。

 

よって、図4と図5の角の大きさの和の比は、

     540 : 900 = 3 : 5

と求められます。

 

 

 開智中学(埼玉)の過去問題集は → こちら

 開智中学の他の問題は → こちら

 

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