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2012年9月 6日 (木)

和と差 第32問 (洛星中学 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (洛星中学 受験問題 2011年 算数) 難易度★★★

 

ふくろの中におはじきが何個か入っています。そのおはじき

全部を太郎君、次郎君、三郎君の3人で分け合います。

太郎君がもらった個数は三郎君の2倍より2個多く、次郎君が

もらった個数は、太郎君より少なく三郎君より多いことが

分かっています。このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)三郎君のもらった個数が11個だったとき、最初にふくろの

   中に入っていたおはじきの個数は、【 あ 】個以上【 い 】

   個以下です。

(2)最初にふくろの中に入っていたおはじきが60個のとき、

   次郎君がもらった個数は何個ですか。考えられる個数を

   すべて答えなさい。

(3)最初にふくろに入っていたおはじきが【 う 】個のとき、

   三郎君がもらった個数として考えられるのは【 え 】個と

   【 お 】個の2つの場合だけでした。【 う 】に入る最も

   小さい整数を答えなさい。また、そのときに【 え 】と【 お 】

   に入る整数を答えなさい。

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解答

 (1)三郎君が11個のとき、太郎君は三郎君の2倍より2個多く、

     11×2+2=24個

です。

 

次郎君は、太郎君より少なく三郎君より多いので、12~23個

ということになります。

 

3人のおはじきの合計は、

 最も少ないとき : 11+24+12=47個

 最も多いとき  :  11+24+23=58個

なので、【 あ 】は47個、【 い 】は58個 です。

 

 (2)次郎君のおはじきの個数が最も少ないとき、

次郎君のおはじきの個数は、三郎君の個数+1個です。

 

次郎君のおはじきの個数が最も多いとき、

次郎君のおはじきの個数は、太郎君の個数-1個です。

 

太郎君のおはじきの個数が、三郎君の個数×2+2個 なので、

次郎君のおはじきの個数が最も多いとき、

次郎君のおはじきの個数は、三郎君の個数×2+1個 です。

 

三郎君のおはじきの個数を □個 とすると、

次郎君のおはじきの個数が最も少ないとき、60個のおはじきは

  □+(□+1)+(□×2+2)=60

となり、□×4=57 ですが、□が整数になりません。

□が整数になるように次郎君の個数を増やして調整すると、

  □+(□+2)+(□×2+2)=60 

となり、□×4=56 で、□=14個になります。

このとき、次郎君は、14+2=16個 です。

 

さらに次郎君の個数を増やすと、

 □+(□+6)+(□×2+2)=60

となり、□×4=52 で、□=13個になります。

このとき、次郎君は、13+6=19個 です。

 

同様に次郎君の個数を増やすと、

 □×4=48 で、□=12、次郎君は、12+10=22個

 □×4=44 で、□=11、次郎君は、11+14=25個

となりますが、次郎君が25個のとき、太郎君が24個となるので

条件に合いません。

条件を満たすのは、16個、19個、22個です。

 

 

次郎君のおはじきの個数が最も多いとき、60個のおはじきは

  □+(□×2+1)+(□×2+2)=60

となり、□×5=57 ですが、□が整数になりません。

□が整数になるように、次郎君のおはじきを減らして調整すると

  □+(□×2-2)+(□×2+2)=60

となり、□×5=60 より、□=12個になります。

このとき、次郎君は、12×2-2=22個 です。

 

同様に次郎君のおはじきを減らしていくと、

 □×5=65のとき、□=13個、次郎君は13×2-7=19個

 □×5=70のとき、□=14個、次郎君は14×2-12=16個

 □×5=75のとき、□=15個、次郎君は15×2-17=13個

となりますが、次郎君が三郎君より減るので、□=15個は条件に

合いません。

 

次郎君のおはじきが最も少ないものとして考えても、最も多いもの

として考えても、次郎君がもらった個数として考えられるのは、

   16個、19個、22個

の3通りです。

 

 

 (3)最初にふくろに入っていたおはじきの個数【 う 】が

最も小さい整数なので、三郎君の個数も小さいはずです。

 

三郎君の個数が1個のとき、太郎君は、4個です。

 次郎君の個数は、2個~3個で、全部で7個~8個です。

三郎君の個数が2個のとき、太郎君は、6個です。

 次郎君の個数は、3個~5個で、全部で11個~13個です。

三郎君の個数が3個のとき、太郎君は、8個です。

 次郎君の個数は、4個~7個で、全部で15個~18個です。

三郎君の個数が4個のとき、太郎君は10個です。

 次郎君の個数は、5個~9個で、全部で19個~23個です。

三郎君の個数が5個のとき、太郎君は12個です。

 次郎君の個数は、6個~11個で、全部で23個~28個です。

 

ここで、合計個数が23個のとき、三郎君のおはじきの個数が

4個でも5個でも大丈夫です。

 

よって、【 う 】・・・23個、【 え 】・・・4個、【 お 】・・・5個

となります。

 

 

 洛星中学の過去問題集は → こちら

 洛星中学の他の問題は → こちら

 

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