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2012年8月10日 (金)

場合の数 並べ方 第57問 (巣鴨中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (巣鴨中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★☆

 

下の図1のように、マッチ棒で 0から9 までの十種類の数字を

作ることができます。たとえば 「8」 はマッチ棒をちょうど7本使って

作ることができます。このとき次の問に答えなさい。ただし、答えが

求められないときは 「なし」 と答えなさい。

 Pic_3026q

(1)マッチ棒をちょうど10本使って2ケタの整数は何種類

   作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(2)マッチ棒をちょうど10本使って3ケタの整数は何種類

   作れますか。ただし、同じ数を2つ作ってもかまいません。

(3)下の図2は、①、②、③にそれぞれマッチ棒をちょうど

   10本ずつ使って作った計算式です。このとき、③に

   当てはまる最大の整数を求めなさい。ただし、①、②には

   それぞれ(1)で作った整数、③には(2)で作った整数が

   入ります。

  Pic_3027a

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解答

 (1)それぞれの数字にマッチ棒が何本使われているかというと

下の図3のような本数です。

Pic_3028a

マッチ棒10本で、2ケタの整数を作るには、

    マッチ棒4本 + マッチ棒6本 

    マッチ棒5本 + マッチ棒5本 

    マッチ棒6本 + マッチ棒4本 

という組み合わせを考えることができます。

 

マッチ棒4本 + マッチ棒6本 → 40,46,49,70,76,79

マッチ棒5本 + マッチ棒5本 → 3×3=9種類

マッチ棒6本 + マッチ棒4本  → 64,67,94,97

以上、6+9+4=19種類 の整数を作ることができます。

 

 (2)マッチ棒10本で3ケタの整数を作るには、

    (ア) マッチ棒2本 + マッチ棒2本 + マッチ棒6本

    (イ) マッチ棒4本 + マッチ棒4本 + マッチ棒2本

という組み合わせが考えられます。

 

(ア)のとき

  (1,1,6) → 116,161,611

  (1,1,0) → 110,101

  (1,1,9) → 119,191,911

(イ)のとき

  (4,4,1) → 441,414,144

  (7,7,1) → 771,717,177

  (4,7,1) → 471,417,714,741,147,174

 

よって、作ることができる3ケタの整数は、以上より

 8+12=20種類

とわかります。

 

 (3)2ケタ+2ケタの計算は、最大で198です(99+99=198)

よって、③に入る数の百の位は「1」です。

 

(2)より、

101,110,116,119,144,147,161,174,177,191

の10種類の中から、③に入るものがあるかどうかを調べることに

なります。

 

すると、最大のものを探すので、191から調べると、

     191=94+97

と、(1)で作れる2ケタの整数の和で表すことができます。

探せばすぐ見つかるので、あきらめないことが大事です。

 

以上より、③に入る最大の整数は、191 ということになります。

 

 

 巣鴨中学の過去問題集は → こちら

 巣鴨中学の他の問題は → こちら

 

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