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2012年8月23日 (木)

連続した数の掛け算 第14問 (芝中学 受験問題 2012年(平成24年) 算数)

 

問題 (芝中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★☆

 

1から100までの整数をかけ合せた数を 6 で割ると、最高で

何回割り切れますか。

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解答

 1×2×3×・・・×100 の中に、6の倍数が

100÷6=16あまり4 より、16個ありますので、

16回割ることができます。

 

そして、6×6=36の倍数が、36,72の2つあるので、

さらに2回割ることができます。

 

このことから、16+2=18回割り切ることができる。

と解答すると、誤りです。

 

この18回には、2×3 などで生じる 6 が含まれていません。

 

正確に解答するにはどうしたらよいかというと、

1×2×3×・・・×100 の中に、2×3 が何個隠れているか

因数分解して調べればよいです。 

 

1×2×3×・・・×100 が

   2で何回割り切れ、3で何回割り切れるか

→ 2 または 3 の少ない方の回数と同じ回数、6 で割り切れる

ということになります。

 

1×2×3×・・・×100 には、

   2の倍数が、50個

   2×2=4の倍数が、25個

   2×2×2=8の倍数が、12個

   2×2×2×2=16の倍数が、6個

   2×2×2×2×2=32の倍数が、3個

   2×2×2×2×2×2=64の倍数が、1個

以上のようにあるので、2 で

   50+25+12+6+3+1=97回 割り切れます。

 

1×2×3×・・・×100 には、

   3の倍数が、33個

   3×3=9の倍数が、11個

   3×3×3=27の倍数が、3個

   3×3×3×3=81の倍数が、1個

以上のようになるので、3 で

   33+11+3+1=48回 割り切れます。

 

2で割り切れる回数より、3で割り切れる回数が少ないので、

1×2×3×・・・×100 には、【2×3】が48個隠れており、

6 で 48回 割り切れることがわかります。

 

なお、3で割り切れる回数の方が2で割り切れる回数より

少ないと分かっている人は、2で97回割り切れることを

わざわざ調べなくてもよいでしょう。

 

 

 芝中学の過去問題集は → こちら

 芝中学の他の問題は → こちら

 

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