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2012年8月28日 (火)

図形の移動 第43問 (桐朋中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (桐朋中学 入試問題 2012年 算数) 難易度★★★☆

 

下の図のように、2cmの方眼紙の上に、ある図形の一部が

太線で表されています。このとき、次の問に答えなさい。

     Pic_3066q

(1)直線AB が対称の軸になるように、線対称な図形を描きなさい。

(2)点Oが対称の中心になるように、点対称な図形を描きます。

   このとき、点Pに対応する点をS,点Rに対応する点をT と

   します。4つの点P,T,S,R を順に結んでできる四角形の

   面積を求めなさい。

(3)点C を中心に辺PQ を90°回転させたとき、辺PQ が通った

   部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1)直線AB を対称の軸として、線対称の図形を描くと、

下の図1のようになります。

      Pic_3067a_2

(2)点Oを対称の中心として、点P,点Rに対応する点S,T を

描くと、下の図2のようになります。

      Pic_3068a_3 

四角形PRST は、平行四辺形になるので、その面積は、

底辺(PT)×高さ(PQ)=(2cm×8マス)×(2cm×6マス)

              =192c㎡

になります。

 

 (3)まず、下の図3のように三角形CPQを作ると、

角PCQ=90°ということがわかります。

       Pic_3069a

これを90°回転移動させると、下の図4の三角形CQUになります。

      Pic_3070a_2

このことから、辺PQが通った部分として、下の図5の青い部分が

わかります。

      Pic_3071a_2

点C から、辺PQの中で最も遠い点(PとQ)の動きがわかりました。

次に、点C から辺PQの中で最も近い点の動きを調べると、下の

図6のように、D → E へ動くので、

      Pic_3072a

図6の黄色い部分も辺PQを回転させると通ることになります。

 

よって、面積は、青い部分+黄色い部分の合計となります。

このとき、CPの長さ(半径)がわかりませんが、

CP=CQの長さを対角線とする正方形CDQE の面積が、

36c㎡ で、正方形の面積=対角線の長さ×対角線の長さ÷2

ということから、

     半径×半径=72

ということがわかります。

 

青い部分の面積は、

   72×3.14×180/360-12×12÷2

黄色い部分の面積は、

   6×6-6×6×3.14×90/360

となるので、求める面積は、

   (36×3.14-72)+(36-9×3.14)

  =(36-9)×3.14-72+36

  =27×3.14-36=84.78-36

  =48.78c㎡

となります

 

 

 桐朋中学の過去問題集は → こちら

 桐朋中学の他の問題は → こちら

 

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