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2012年8月20日 (月)

場合の数 第55問 道順 (市川中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (市川中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

下の図のように、すべての面が正三角形でできた三角すい

ABCD があり、各辺のちょうどまん中の点を、それぞれE,F,

G,H,I ,J とします。

Pic_3048q

点P は点A を出発し、三角すいABCD と正三角形EFG の

辺上を動き、1回の移動で必ずとなりの点に動きます。

たとえば、点B のとなりの点は、E,H,J です。このとき、

次の問に答えなさい。

 

(1)点P は、途中で同じ点を通ってはいけないものとして、ちょうど

   7回の移動で初めて点A にもどる動き方は何通りありますか。

(2)点P は、同じ点を何回通ってもよいものとして、ちょうど4回の

   移動で点A にいる動き方は何通りありますか。

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解答

 (1)7回の移動で点A に戻る道順として、まず下の図1の場合が

考えられます。

Pic_3049a

 A→E→F→C→I→D→G→A です。

この移動の仕方は、A→E→F まで移動すると、その後の

移動は C→I→D→G→A に決定されますので、

A→E→F のほかの場合を考えればよく、ほかに

   A→E→G、A→F→E、A→F→G、A→G→E,A→G→F

があり、合計6通りです。

 

また、図1の移動の仕方は、逆からも移動でき、

    A→G→D→I→C→F→E→A

となります。この移動の仕方も同様に、6通り あります。

 

ほかに7回で点A に戻る方法はないので、7回の移動で

初めて点A にもどる動き方は、6+6=12通り です。

 

 (2)4回の移動で点Aにいる方法は、まず、A→E→A→E→A

のように、2回目に点Aにもどる方法があります。

 

1回目に点E に移動した場合、2回目には点Aにもどり、

3回目には、E,F,G のどこかに移動し、4回目に点Aに戻ります。

この方法は、3通りあります。

 

1回目に点F に移動した場合も、点G に移動した場合も、

それぞれ 3通り の方法があるので、この方法では、

      3×3=9通り

の移動方法があります。

 

次に、下の図2の赤線のように、

 A→G→D→G→A

と移動する方法があります。

Pic_3050a

この方法は、2回目にB,C,D のどこに移動するかで、

3通り の動き方があることがわかります。

 

また、下の図3のA→E→F→E→A のように、折れ曲がって

点A に戻る動き方もあります。

Pic_3051a

 A→E→F,A→E→G,A→F→G,A→F→E,

 A→G→E,A→G→F

図3の動き方は、以上の6通り があります。

 

さらに、下の図4のように

Pic_3052a

A→E→F→G→A という動き方があります。

この動き方は、A→E→F までが決まれば、あとは自動的に

G→A となります。

 

このような動き方が他に何通りあるか調べると、

 A→E→G,A→F→G,A→F→E,A→G→F,A→G→E

とあり、合計6通り です。

 

よって、ちょうど4回の移動で点A にいる動き方は、

     9+3+6+6=24通り

です。

 

 

 市川中学の過去問題集は → こちら

 市川中学の他の問題は → こちら

 

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