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2012年8月30日 (木)

立体図形の表面積 第8問 (立教池袋中学 2012年(平成24年度) 算数入試問題)

 

問題 (立教池袋中学 2012年 算数入試問題) 難易度★★★

 

下の図のような立体があります。この立体は、底面の半径が

9cm の円すいを底面に平行に切って、【ア】と【イ】の2つに

分け、その間に円柱【ウ】をぴったりとはめたものです。【ウ】の

高さは、【ア】と【イ】に分ける前の円すいの高さの半分です。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3059q_2

(1)この立体の体積は何c㎥ ですか。

(2)この立体の表面積は何c㎡ ですか。

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解答

 (1)【ア】と【イ】に分ける前の円すいは、下の図1のようになり、

Pic_3060a

三角形ABD と三角形ACE は相似で、相似比は

   BD : CE = 6 : 9 = 2 : 3 

です。

 

よって、

   AB : AC = 2 : 3

   AD : AE = 2 : 3

なので、AC=12cm、AE=15cm となり、

   BC=4cm、DE=5cm

とわかります。

 

円柱【ウ】の高さは、図1の円すいの高さの半分なので、

   12÷2=6cm

です。

 

ゆえに、立体の体積は、図1の円すい + 円柱【ウ】 より、

   9×9×3.14×12÷3 + 6×6×3.14×6

  =(324+216)×3.14=540×3.14

  =1695.6c㎥

と求められます。

 

 (2)この立体の表面積は、

   図1の円すいの表面積 + 円柱【ウ】の側面積

として求めることができます。

 

円すいの表面積は、下の図2のような展開図の扇形+底面の円

の面積の合計となります。 

   Pic_3061a

円すいの側面積(扇形)の中心角は、

    中心角/360°= 半径 / 母線

から求めることができます。( 解説は → こちら

 

よって、立体の表面積は、

 15×15×3.14×9/15 + 9×9×3.14  → 円すい 

                  + 6×2×3.14×6 → 【ウ】

=(135+81+72)×3.14=288×3.14

904.32c㎡

と求められます。

 

 

 立教池袋中学の過去問題集は → こちら

 立教池袋中学の他の問題は → こちら

 

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