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2012年8月29日 (水)

立体図形の表面積 第7問 (栄光学園中学 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (栄光学園中学 受験問題 2011年 算数) 難易度★★★

 

厚さが1cm の4つの円盤①、②、③、④があります。それぞれの

円盤の半径は、①が1cm、②が2cm、③が3cm、④が4cmです。

これらの円盤を重ねて立体を作ります。ただし、重なっている部分

が円になるようにします。下の図1のように重ねてはいけません。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_3054q_2

(1)上の図2のように重ねたときの立体の表面積を求めなさい。

(2)立体の表面積がもっとも大きくなるような積み方を、例に

   ならって1つ挙げなさい。 例:図2の場合:(①、②、③、④)

(3)(2)のときの立体の表面積を求めなさい。

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解答

 (1)図2の立体を真上から見ると、下の図3のようになります。

Pic_3055a

真上から見たとき、4つ重なっている立体の上から見える部分の

面積は、図4の④の円の面積と等しく、

  4×4×3.14=16×3.14(c㎡)

であることがわかります。

 

真下から見たときも、④の円の面積が表面積として加算され、

あとは側面積を計算するのみです。

 

側面積は、

 ①の側面積・・・1×2×3.14×1=2×3.14

 ②の側面積・・・2×2×3.14×1=4×3.14

 ③の側面積・・・3×2×3.14×1=6×3.14

 ④の側面積・・・4×2×3.14×1=8×3.14

となるので、側面積の合計は、

 (2+4+6+8)×3.14=20×3.14

となります。

 

よって、図2の立体の表面積は

 16×3.14×2+20×3.14=(32+20)×3.14

                    =52×3.14

                    =163.28c㎡

となります。

 3.14の計算は最後にやりましょう。 

 

 

 (2)立体の表面積を大きくするには、重なっている部分の

面積を小さくすればよいです。

 

たとえば図2の場合、③と④が重なっていますが、この部分を

①と④に変えれば、より表面積が大きくなります。

 

最も大きい表面積を持つ④を最大限活かすため、④と①を

重ねます。さらに、2番目に大きい表面積を持つ③を重ねます。

最後に、②を重ねれば、表面積が最も大きくなります。

積み方は、(②、③、①、④)です。

他にも積み方はありますので考えてみましょう。

 

 (3)(2)のとき、積み方は下の図5のようになるので、表面積は、

図2のときと比べて、図5の色のついた部分が増え、

       Pic_3056a

③と④にはさまれた部分の上下

 {(3×3-1×1)+(3×3-1×1)}×3.14

=16×3.14=50.24c㎡

増えるので、立体の表面積は

 163.28+50.24=213.52c㎡

となります。

 

 

 栄光学園中学の過去問題集は → こちら

 栄光学園中学の他の問題は → こちら

 

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