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2012年8月24日 (金)

点の移動 第36問 (筑波大学附属駒場中学 2006年(平成18年度) 入試問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2006年 受験問題 算数)

     難易度★★★

 

辺AB の長さが24cm、辺AD の長さが60cmの長方形ABCD

があります。点P は頂点A を出発し、長方形の辺上をA→B→C

→D→A→・・・ の向きに毎秒6cmの速さで動きます。点Qは、P

と同時に頂点Aを出発し、長方形の辺上をA→D→C→B→A→

・・・の向きに毎秒4秒の速さで動きます。2点はAを出発した後、

再び頂点Aで出会うまで動き続けます。長方形を線PQで2つの

部分に分けるとき、次の問に答えなさい。

  Pic_2629q

(1)出発して7秒後の、小さい方の部分の面積を求めなさい。

(2)P,Qがともに長方形の頂点にいるときで、2つの部分の

   面積が等しくなるのは、出発してから何秒後ですか。

(3)Pが長方形の頂点にいるときで、大きい方の面積が小さい

   方の面積の3倍になるのは、出発してから何秒後ですか。

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解答

 (1)7秒で点Pは、6×7=42cm、点Qは4×7=28cm

それぞれ進むので、下の図1のような位置にあります。

   Pic_2630a

よって、小さい方の面積は、台形ABPQ の面積で、

  (18+28)×24÷2=552c㎡ です。

 

 

 (2)点Pは、1周するのに (24+60)×2÷6=28秒

点Qは、1周するのに (24+60)×2÷4=42秒 かかります。

このことから、点P,Qが同時に頂点A で出会うのは、

   28と42の最小公倍数の84秒後 です。

よって、84秒後までについて考えればよいことになります。 

 

P,Qがともに長方形の頂点にいて、2つの部分の面積が

等しくなるのは、線PQが対角線のときで、下の図2~5までの

4通りが考えられます。ここで、点Qは2周しかしないことに注意し、

Pic_2631a

図2で、点Qが1周目とすると、60÷4=15秒のときの図で、

     点Qが2周目とすると、42+15=57秒のときの図

ということになり、そのとき、点Pは

 15×6=90cm → 辺CD 上になってしまう

  57×6=342cm → 点Pの位置が、168×2+24 の位置と

               異なる

ので、図2は条件に合いません。

 

図3では、点Qが1周目とすると、144÷4=36秒後なので、

  点Pは、6×36=216cm 進んで、216-168=48cm より

  辺BC 上にいるはずで、

点Qが2周目とすると、点P、Qが進むべき残りの長さの比が

6:4になってなければなりませんが、なっていません。

よって、図3も条件に合いません。

 

図4では、点Qが1周目とすると、84÷4=21秒後で、そのとき

  点Pは、21×6=126cm 進んでいるはずで、頂点Aには

  いません。(頂点A は、1周の長さ:168cmの整数倍 のとき)

点Qが2周目とすると、点P,Qが進むべき残りの長さの比が

6:4になっていなければなりませんが、2:1になっており、

共に条件に合いません。

 

図5では、点Qがちょうど1周したときで、168÷4=42秒後で、

そのとき点Pは、42×6=252cm 進んだ位置にいるはずで、

252-168=84(半周分) なので、頂点C です。

 

よって、条件に合うのは図5のときで、出発してから42秒後 です。 

 

 

 (3)点Pが頂点にいるときと、点Qの位置関係について、

下の表1のようにまとめることができます。

Pic_2632a

点Pが頂点にいるときは、線PQで長方形を切ると、

三角形が作られます。その三角形の面積が長方形の

面積の4分の1ならよいことになります。

 

つまり、点Qは、どこかの辺のまん中にいるときで、

表1より、18秒後と60秒後があてはまりますが、

18秒後は、P,Qともに辺CD上におり、長方形を

切断することができず、60秒後では、三角形CPQ

の面積が長方形の4分の1になり、大きい方の面積が

小さい方の面積の3倍になります。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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