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2012年7月11日 (水)

反射 第6問 (六甲中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (六甲中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

たて90cm、横160cmの、長方形で周りが壁に囲まれた

平らな台があります。その台の上に球【ア】が置いてあります。

下の図1は、この様子を上から見たものです。A の位置から

別の球【イ】を壁BCに向かって打ちます。壁に当たった球【イ】は

下の図2のように、同じ角度ではね返ります。このとき次の問に

答えなさい。ただし、球の大きさは考えないものとします。

Pic_2989q

(1)下の図3のように、球【イ】が壁BC の点E の位置で

   はね返って球【ア】に当たるためには、BE のキョリを

   何cm にすればよいですか。

 Pic_2990q

(2)下の図4のように、球【イ】が壁BCの点F の位置ではね返り、

   さらに壁AD に当たりはね返って球【ア】に当たるためには、

   BF のキョリを何cm にすればよいですか。

 Pic_2991q

(3)球【イ】が壁BC のある地点G の位置ではね返り、さらに

   壁AD,CD の順に当たってはね返り球【ア】に当たるため

   には、BG のキョリを何cm にすればよいですか。

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解答

 (1)球【ア】のある位置をP とし、下の図5のようにPから壁BCに

垂直に線を引き交点をQとすると、三角形ABE と三角形PQE は

相似ということがわかります。

 Pic_2992a

AB=90cm、PQ=30cm なので、相似比は 3 : 1 です。

すなわち、BE のキョリ : EQのキョリ = 3 : 1 で、

BQ=120cm なので、BE のキョリは、

    120÷(3+1)×3=90cm

と求められます。

 

また、反射の問題で基本的な考え方として、下の図6のように

 Pic_2993a

球【イ】の通る線を点E で反射させず、そのまま伸ばし、

PQ=PR となる点R  まで結ぶ方法があります。

この場合も、三角形ABE と三角形RQE が相似比 3:1

ということから BE=90cm と求めることができます。

 

 (2)三角形の相似を利用して解くと、下の図7のように、

三角形AFH,三角形IFH,三角形IPJ は相似で、

 Pic_2994a

FH=90cm、JP=60cm より、相似比は 3:2 です。

AJ=120cm で、AH:HI:IJ=3:3:2 より、

BF=AH=120÷(3+3+2)×3=45cm

と求めることができます。

 

<別解>

球【イ】を反射させず、まっすぐ進ませ、下の図8のように描く

ことができ、AB=QR=90cm、三角形PJI と三角形SRT が

合同なので、PJ=SR=60cm、三角形ABF とそうじな三角形

SQF を見つけることができます。

Pic_2995a

AB=90cm、SQ=150cm より、相似比が 3:5 なので、

BQ=120cm より、BFのキョリは、

    120÷(3+5)×3=45cm

と求めることができます。

 

 (3)反射の様子を図に描くと、下の図9のようになります。

Pic_2996a

球【イ】を反射させずにそのまま進めると、下の図10の点Mまで

進むことになります。

Pic_2997a_2

下の図11のように、 AB=90cm、SQ=MN=150cmで、

三角形ABG と三角形MNG が相似 なので、相似比は、3:5

です。

Pic_2998a

BN=160+40=200cm なので、

   BG のキョリ=200÷(3+5)×3=75cm

と求めることができます。

 

 

 六甲中学の過去問題集は → こちら

 六甲中学の他の問題は → こちら

 

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