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2012年7月10日 (火)

点の移動 第34問 (淑徳与野中学 2011年(平成23年度) 算数受験問題)

 

問題 (淑徳与野中学 2011年 算数受験問題) 難易度★★★

 

下の図1のように円周の長さが144cmの円があり、円周上の

点A から3点P,Q,R が矢印の向きに同時に出発し、図1に

書かれた速さで円周上を進み続けます。このとき、次の問に

答えなさい。

Pic_2973q

(1)出発したあと、3点P,Q,R が初めて重なるのは出発して

   から何秒後ですか。

(2)点P が初めて下の図2のように、2点Q,R のまん中に

   くるのは、出発してから何秒後ですか。

     Pic_2974q

(3)点R が初めて下の図3のように、2点P,Q のまん中に

   くるのは、出発してから何秒後ですか。

     Pic_2975q

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解答

 (1)円を一周するのにかかる時間は、

     点P ・・・ 18秒、点Q ・・・ 36秒、点R ・・・ 24秒

です。

 

点P と点Q は、36秒ごとに点A で重なります。

ということは、点P,点Q,点R の3点が重なる位置も点A

ということになります。(他の位置では重なりようがないため)

 

点Rは、24秒ごとに点A を通るので、点P,Q が重なる36秒

ごとの時間との最小公倍数を調べればよく、72秒後 に初めて

3点P,Q,R が点A で重なることがわかります。

 

 

 (2)一定時間に 3点P,Q,R の進むキョリの比は、速さの比と

同じで、4 : 3 : 2 です。このことから、図2のような位置関係に

なるのは、下の図4のように、

     Pic_2976a

AQ:PQ:PR:AR=②:②:②:③ というキョリ関係になったときで、

1周144cm より、②=144÷9×2=32cm です。

 

よって、点Qが32cm進むのにかかる、32÷4=8秒後 に、

点P は2点Q,R のまん中にくることがわかります。

 

 

 (3)図3の位置関係になるとき、下の図5のように、

     Pic_2977a

AQ:QR:PR:AP=②:①:①:② となるので、

(AP=④、AQ=②、AR=③)

②=144÷6×2=48cm に相当し、

点R が初めて点P,Qのまん中にくるのは、点Qが48cm進む

のにかかる時間と等しく、

   48÷4=12秒後

とわかります。

 

 

 淑徳与野中学の過去問題集は → こちら

 淑徳与野中学の他の問題は → こちら

 

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