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2012年7月 6日 (金)

立体図形の切り口 第44問 (早稲田中学 入試問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (早稲田中学 入試問題 2010年 算数) 難易度★★★☆

 

下の図は、1辺の長さが 6cm の立方体です。この立方体を

3つの点 A,B,C を通る平面で切断します。AQ=3cm、

BQ=2cm、CR=2cm のとき、次の問に答えなさい。

Pic_2972q

(1)切り口は何角形ですか。

(2)ア~ニは辺上の点で、たがいに1cmずつ離れて並んでいます。

   切り口の多角形のA,B,C 以外の頂点をア~ニからすべて

   選びなさい。

(3)PQ の延長と CB の延長が交わる点をD とします。

   切り口の多角形の面積は三角形ADB の面積の何倍ですか。

(4)できた2つの立体のうち、点R を含む方の立体の体積を

   求めなさい。

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解答

 (1)切り口がそのような形なのか調べていきましょう。

 

まず、線AB,BC を引くことはできます。

3点A,B,C を通る面は、点A から出る、線BC と平行な線を

面に含んでいます。どのような線かというと、BR=4cm、

CR=2cm なので、下の図1のように、

Pic_2979a

辺UR 上に、TR=AQ=3cm となる点T をとると、面RUシV 上の

角ATS=90度、ST=3cm となる点S を通る線AS になることが

わかります。(BR:CR=AT:ST=2:1となるので)

 

立方体内部の切り口面は、下の図2の青い面となり、

線CS を伸ばしていくと、点テ(点Uから4cm)に当たります。

Pic_2980a

点テを通り、線AS,BC と平行な線も切り口の面上にあり、

下の図3のように、点アを通ることがわかります。

Pic_2981a

点ア と点A が同じ面上にあるので、立方体の切り口は

線アA と通り、全体図は、下の図4のように

Pic_2982a

五角形になることがわかります。

 

 

 (2)五角形の頂点は、A,B,C,ア,テ です。

 

 

 (3)点D は下の図5のように定めることができ、三角形ADBを

黄色く示しました。

Pic_2983a

三角形BDQ と三角形BCR は相似で、BQ:BR=1:2 なので、

BD : BC = 1 : 2 とわかります。

 

三角形ADBの面積 : 三角形ABCの面積 = BD:BC

                           = ① : ② です。

三角形ADCの面積 = 三角形ACSの面積=①+②=③ です。

四角形アASテ の面積=四角形ADCSの面積=③×2=⑥ です。

 

三角形ADBの面積=① とすると、五角形ABCテアの面積は、

  ②+③+⑥=⑪

なので、切り口の五角形の面積は、三角形ADBの面積の11倍

とわかります。

 

 

 (4)点R を含む方の立体の体積は、

立方体の体積から、点Rを含まない立体の体積を除けば

求めることができます。

 

点Rを含まない立体の体積は、

  底面を正方形PVシカ とする切断四角柱PVシカ-DCテア から

  三角すいD-ABQ の体積を除けば求めることができます。

 

切断四角柱PVシカ-DCテア の体積は、

 高さの平均が、(5+2+4+7)÷4=4.5cm より、

 6×6×4.5=162c㎥ です。

三角すいD-ABQ の体積は、DQ=CR÷2=1cm より、

 3×2÷2×1÷3=1c㎥ です。

立方体の体積は、

 6×6×6=216c㎥ です。

 

よって、点R を含む方の立体の体積は、

 216-(162-1)=216-161=55c㎥ です。

 

 

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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