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2012年7月27日 (金)

てんびん 第8問 (筑波大学附属駒場中学 2010年(平成22年度) 受験問題 理科)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2010年 受験問題 理科)

     難易度★★★★

 

下の性質がある十字型の【物干し】を使って、2つの物干し作業を

行いました。後の各問に答えなさい。

 

 【性質】

 ① 下の図1のように、2本の棒は中央Oで90度に固定され、

   Oからは物干し全体をつるす 「くさり」 が出ています。

    Pic_2730q_2

 ② 買ったとき、棒1は 「くさり」 と10個の洗たくばさみが等間かく

   に取り付けられていましたが、いまは下の図2のA,B,C,D

   の位置にだけ洗たくばさみがあり、残りは外れています。

 ③ 買ったとき、棒2は 「くさり」 と8個の洗たくはさみが等間かく

   に取り付けられていましたが、いまは下の図2のE,F,G,H

   の位置にだけ洗たくばさみがあり、残りは外れています。

 ④ 8個の洗たくばさみに何も干さずに 「くさり」 でつるすと、

   物干し全体は水平になります。

       Pic_2731q

【作業1】 下の表に洗たく物の種類を示しています。

 (1)表のア~エの洗たく物を1つずつ棒1のA~Dの位置に干し、

    物干し全体が水平になるかどうかを調べました。ただし、

    同じ位置に2つ以上の洗たく物を干すことはありません。

 (2)表のア~エの洗たく物を1つずつ棒2のE~Hの位置に干し、

    物干し全体が水平になるかどうかを調べました。ただし、

    同じ位置に2つ以上の洗たく物を干すことはありません。

Pic_2729q

【作業2】

 表のア~エの洗たく物7つ(ア~ウは2つずつ、エは1つだけ)を

 すべて、A~Hの位置に干し、物干し全体が水平になるかどうか

 を調べました。ただし、同じ位置に2つ以上の洗たく物を干す

 ことはありません。

 

問1 作業1の(1)で、A~Dの位置に何を干すと物干し全体が

    水平になりますか。2通り答えなさい。

問2 作業1の(2)で、物干し全体が水平になる干し方は全部で

    何通りありますか。ない場合は「0」と答えなさい。

問3 作業2で、「同じ種類の洗たく物を同じ棒に」干そうとした場合

    物干し全体が水平になる干し方は全部で何通りありますか。

    ない場合は「0」と答えなさい。

問4 作業2で、「同じ種類の洗たく物を異なる棒に」干そうとした

    場合、物干し全体が水平になる干し方は全部で何通りあり

    ますか。ない場合は「0」と答えなさい。また、そのような

    干し方がある場合は、A~Hの位置に何を干すと物干し全体

    が水平になりますか。1通りだけ答えなさい。ただし、干さな

    かった位置には「×」を記入しなさい。

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解答

 まず、2つの棒は直角に交わっているので、互いに影響を

 及ぼすことはなく、独立した棒としてつり合いを考えれば

 よいですね。

 

 問1

ア~エの洗たく物は、重さが24,36,48,60 なので、

2:3:4:5 となっています。それぞれ、【2】、【3】、【4】、【5】と

いう重さで表すことにします(計算を楽にするため)

 

棒1は、中心OからAまでが5目盛り、Bまでが2目盛り、

Cまでが3目盛り、Dまでが4目盛りなので、棒1がつり合う

ように、力のつり合いの式を考えると、

 

まず、【5】がA(5目盛り)にあると、右側のC,Dに、

【4】、【3】とつるしても、Bに【2】をつるすこととなり、

つり合いません。よって、【5】はAにはつるすことができません。

 

次に、【5】がD(4目盛り)にあるとき、

C(3目盛り)に【2】、A(5目盛り)に【4】、B(2目盛り)に【3】

をつるすと、左右ともに【26】となるので、つり合います。

 

続いて、【5】がC(3目盛り)にあるとき、

D(4目盛り)に【2】をつけると、A(5目盛り)に【3】、B(2目盛り)

に【4】をつるせば、左右ともに【23】となるので、つり合います。

 

よって、物干しが水平になるには、

 A:ウ、B:イ、C:ア、D:エ

 A:イ、B:ウ、C:エ、D:ア

という干し方をすればよいことになります。

 

 

 問2

E~Hは、それぞれOから4目盛り、1目盛り、2目盛り、3目盛り

となっているので、

 4×□+1×△=2×○+3×☆

となるように組み合わせを考えると、

 □=【5】のとき、2×○+3×☆ は、最大で☆=【4】、○=【3】

           なので、成り立ちません。

 ☆=【5】のとき、□=【4】、△=【3】、○=【2】で成り立ちます。

 ○=【5】のとき、□=【3】、△=【4】、☆=【2】で成り立ちます。

 △=【5】のとき、成り立つ式は作れません。

 

よって、干し方は、

 E:ウ、F:イ、G:ア、H:エ

 E:イ、F:ウ、G:エ、H:ア

2通り です。

 

 

 問3

同じ種類のものは同じ棒に干すということは、棒1または棒2の

どちらかは、2種類のものだけになります。

 

棒1が、2種類のものしか干されていない場合、考える

組み合わせは、

 ①(A,B)が同じで、(C,D)が同じ 

 ②(A,C)が同じで、(B,D)が同じ 

 ③(A,D)が同じで、(B,C)が同じ

の3通りを考えます。

 

干す2種類を○と□として、

①(A,B)が同じで、(C,D)が同じとき、

   5×○+2×○=3×□+4×□ というつり合いの式となり、

  7×○=7×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

  成り立ちません。

②(A,C)が同じで、(B,D)が同じとき、

  5×○+2×□=3×○+4×□ というつり合いの式となり、

  2×○=2×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

  成り立ちません。

③(A,D)が同じで、(B,C)が同じとき、

  5×○+2×□=3×□+4×○ というつり合いの式となり、

  1×○=1×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

  成り立ちません。

 

棒2が○と□の2種類のものしか干されていないとすると、

 ④(E,F)が同じで、(G,H)が同じ

 ⑤(E,G)が同じで、(F,H)が同じ

 ⑥(E,H)が同じで、(F,G)が同じ

の3通りを考えます。

 

④(E,F)が同じで、(G,H)が同じとき、

 4×○+1×○=2×□+3×□ というつり合いの式となり、

 5×○=5×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

 成り立ちません。

⑤(E,G)が同じで、(F,H)が同じとき、 

 4×○+1×□=2×○+3×□ というつり合いの式となり、

 2×○=2×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

 成り立ちません。

⑥(E,H)が同じで、(F,G)が同じとき、

 4×○+1×□=2×□+3×○ というつり合いの式となり、

 1×○=1×□ となってしまい、同じ重さのものがないので

 成り立ちません。

 

よって、同じ種類の洗たく物を同じ棒に干したとき、物干しが

水平になる干し方は「」です。

 

 

 問4

同じ種類の洗たく物は異なる棒に干すので、棒1か棒2の

一方は、ア~エの4種類、もう一方はア~ウの3種類の

洗たく物を干すことになります。

 

棒1、棒2にア~エの4種類を干したときに棒が水平に

なる干し方は、すでに問1、問2で求めたとおりです。

 

ですから、ア~ウの3種類を棒1、棒2に干したときに

つり合う場合があるのかどうかを調べればよいわけです。

 

棒1にア【2】、イ【3】、ウ【4】を干したとすると、

 5×□+2×△=3×○+4×☆

を満たすのは、

 Aの位置に何も干さない場合、式が成り立つ場合はありません。

 Bの位置に何も干さない場合、

  5×□=3×○+4×☆ となりますが、式は成り立ちません。

 Cの位置に何も干さない場合、

  □=【2】、△=【3】、☆=【4】 のときに成り立ちます。

 Dの位置に何も干さない場合、

  5×□+2×△=3×○ となりますが、式は成り立ちません。

 

棒2にア【2】、イ【3】、ウ【4】を干したとすると、

 4×□+1×△=2×○+3×☆

を満たすのは、

 E の位置に何も干さなかった場合、

    1×△=2×○+3×☆ となり、式は成り立ちません。

 F の位置に何も干さなかった場合、

    4×□=2×○+3×☆ ですが、式は成り立ちません。

 G の位置に何も干さなかった場合、 

     4×□+1×△=3×☆ ですが、式は成り立ちません。

 H の位置に何も干さなかった場合、

     4×□+1×△=2×○ ですが、式は成り立ちません。

 

ゆえに、物干しが水平になるのは、

 棒1の A:ア、B:イ、C:×、D:ウ

 棒2の E:イ、F:ウ、G:エ、H:ア

      または E:ウ、F:イ、G:ア、H:エ

に干したときの2通り です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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