魔方陣 第９問 （横浜雙葉中学 受験問題 2009年（平成21年度） 算数）

問題　（横浜雙葉中学　受験問題　2009年　算数）　難易度★★★

下の図１のように、それぞれの三角形の頂点に置いた数字の

和が円の中に現れるような仕組みがあります。このとき、次の

問に答えなさい。

　　　　

（１） １から９の中から異なる６つの整数を選んで、それぞれの

　　 頂点に置いたところ、下の図２のようになりました。

　　　　　

　　①　アとオを比べると、どちらがどれだけ大きいですか。

　　②　アからカまでの６つの数の和はいくつですか。

　　③　カに当てはまる数が２のとき、アに当てはまる数を

　　　　 答えなさい。

（２）１から９の中から異なる６つの整数を選んで、それぞれの

　　 頂点に置いたところ、下の図３のようになりました。

　　　　　

　　①　アとエとカ の３つの数の和はいくつですか。

　　②　アからカ にあてはまる数の組は２組あります。

　　　 　その２組を答えなさい。

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解答

　（１）①ア＋イ＋ウ＝１８　、　イ＋ウ＋オ＝１６ なので、

アとオでは、アの方が２大きいことがわかります。

　（１）②ア＋イ＋ウ＝１８　、　イ＋ウ＋オ＝１６ 　、

　　　 　イ＋エ＋オ＝９　、　ウ＋オ＋カ＝１５

これらをすべて加えると、

　（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ）＋（イ＋ウ＋オ）×２＝５８

となるので、　

　ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＝５８－３２＝２６

です。

　（１）③ イ＋ウ＋オ＝１６　、　ウ＋オ＋カ＝１５

なので、イ は カ より１大きく、３ です。

ここで、イ－エ－オ の三角形に注目すると、和の９を

３を含む異なる３つの整数で表すと、

　（１，３，５）、（２，３，４）

の２通りが考えられますが、カ＝２ なので、２を含まない

（１，３，５）が、イ、エ、オには、入り、

オ＝１または５です。

オ＝１のとき、ア＝３ となり、イと同じになるので不適です。

オ＝５のとき、ア＝７ となり、ウ＝８、エ＝１となり、すべて

異なる整数となります。

よって、ア＝７ です。

　（２）① （１）の②と同じ要領で、すべての文字の和を求めると、

（ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ）＋（イ＋ウ＋オ）×２＝５４ なので、

ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＝５４－３０＝２４ です。

よって、ア＋エ＋カ＝２４－（イ＋ウ＋オ）＝９　です。

　（２）②　ア－イ－ウ の三角形に注目すると、和の９を

異なる３つの整数で表すと、

　（１，２，６）、（１，３，５）、（２，３，４）　

の３通りがあります。

さらに、ア＋エ＋カ＝９　なので、

　（ア、イ、ウ）、（ア、エ、カ）＝（１，２，６）、（１，３，５）、（２，３，４）　

のどれかになります。

【ア】が共通していることから、ア＝１または２または３　

となります。

イ は カ より ２ 大きく、エ は ウより ２ 大きいことから

ア＝１ では、この条件を満たせません。

　（イ、ウ）＝（２，６）または（６，２）または　（３，５）または　（５，３）

　（エ、カ）＝（５，３）または（３，５）または　（６，２）または　（２，６）

　となり、差が２になることがないので。

ア＝２ のとき、イ＝カ＋２、エ＝ウ＋２ を満たすのは、

　（ア、イ、ウ）＝（２，６，１）　（ア、エ、カ）＝（２，３，４）

　（ア、イ、ウ）＝（２，３，４）　（ア、エ、カ）＝（２，６，１）

の２通りがあります。このとき、オ＝８　になります。

問題文によると、答えは２組なのですが、念のため

ア＝３ のときも調べると、イ＝カ＋２、エ＝ウ＋２ を満たすものは

ありません。

よって、（ア、イ、ウ、エ、オ、カ）は、

　（２，６，１，３，８，４）　と　（２，３，４，６，８，１）

の２組になります。

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