立体図形の展開図 第４７問 （洛星中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）
問題 （洛星中学 入試問題 2012年 算数） 難易度★★★★★
下の図１のように１辺の長さが２ｃｍの立方体があります。
この立方体の面の対角線の交点をその面の中心と呼ぶことに
します。下の図の点Ｏは、面ＡＢＣＤの中心、点Ｐは面ＡＢＦＥの
中心です。
（１）点Ｏから見て点Ａよりも近くにある立方体の表面や内部の
点のうち、表面にある部分を下の図２に境界線を描き色を
つけ示し、その部分の面積を求めなさい。
（２）点Ｏから見て点Ａよりも遠く、点Ｐから見て点Ａよりも近くにある
立方体の表面や内部の点のうち、表面にある部分を下の図３
に境界線を描き色をつけ示し、その部分の面積を求めなさい。
（３）立方体の６つのどの面の中心から見ても、点Ａより近くにある
立方体の表面や内部の点のうち、表面にある部分の面積を
求めなさい。
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解答
（１）下の図４のように、立方体を８分割すると、点Ｏから点Ａ の
キョリは、点Ｏから点Ｂ，点Ｐ までのキョリと等しいことがわかり、
点Ｏから見て点Ａよりも近くにある立方体の表面や内部の点
のうち、面ＡＢＦＥ 上にあるものは、
ちょうど点Ｏをコンパスの持つ部分、点Ａ，Ｂのまん中の点を
針をさす部分として、ＯＡの長さでコンパスを回転させた円の
内部（すなわち円すいの底面）になり、下の図５のようになります。
面ＡＢＣＤ の周囲４面にも同様に描くことができるので、
図２の展開図に描くと、下の図６のようになります。
この部分の面積は、
２×２＋１×１×３．１４×１８０/３６０ ×４ ＝１０．２８ｃ㎡
となります。
（２）点Ｐから見て点Ａよりも近くにある立方体の表面や内部の
点のうち、表面にある部分というのは、（１）の考えと同様で、
点Ｐを中心として考えると、下の図７のようになります。
点Ｏから見て点Ａよりも遠く、というのは、図６で色がついていない
部分です。その部分と図７の重なった部分が求める部分で、
図３の展開図に描くと、下の図８のようになります。
この黄色い部分が求める面積で、下の図９のように面積移動でき、
求める面積は、２ｃｍ×２ｃｍの正方形１．５個分なので、
２×２×１．５＝６ｃ㎡
となります。
（３）点Ａ が含まれる面で調べていない面が、面ＡＤＨＥ です。
この面の中心を点Ｑとすると、点Ｒから見て点Ａよりも近くにある
立方体の表面や内部の点のうち、表面にある部分は、下の図１０
のようになります。
面の中心Ｏ，Ｐ，Ｑから見て、点Ａより近くにある立方体の表面や
内部の点のうち、表面にある部分は、図８と図１０を重ねて、
下の図１１の黄色い部分となります。
点Ａ を含まない残り３つの面の中心から見ると、点Ａは最も遠い
点となるので、立方体の表面のすべての部分は点Ａ より近い
ということになります。
よって、立方体の６つのどの面の中心から見ても、点Ａより
近くにある立方体の表面や内部の点のうち、表面にある部分
の面積は、図１１の黄色い部分で、
（１×１×３．１４×９０/３６０ ×２ －１×１）×３個
＝０．５７×３＝１．７１ｃ㎡
となります。
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コメント
(1)について考えると、辺EFの中点は点Aと点Oと同じだけ離れているので図6の様にはならないと思います。私の場合は辺AOの中点から辺AOと底面に対して垂直になるように立方体を二つに切断して点Oを含む立体の表面部分が答えになりました。(2)の場合も同様に考えました。
投稿: 万打無 | 2012年6月29日 (金) 21時48分
問題文を見ると「点Ｏから見て点Ａよりも近くにある点」であって「点Ｏより点Ａの方が近い点」ではありませんね。私はてっきり後者だと勘違いしていました。大変失礼しました。
投稿: 万打無 | 2012年6月29日 (金) 21時54分
万打無さま、コメントありがとうございます。
複雑な問題になると問題文を理解するのも大変ですので、
気を使うポイントですね。
またお気づきの点がございましたらコメント
よろしくお願いいたします。
投稿: 桜組 | 2012年7月 2日 (月) 17時18分