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2012年6月21日 (木)

てんびん 第7問 (筑波大学附属駒場中学 受験問題 2007年(平成19年度) 理科)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 受験問題 2007年 理科)

     難易度★★★★

 

 ものの安定な積み方を調べるために、次の実験を行いました。

【準備】 はばと厚みが一様で長さが70cmの角材を2本用意し、

      1本を7等分して長さが10cmの積み木を7個用意した。

      積み木1個の重さは角材の重さの7分の1です。

【実験1】 

   下の図1のように、水平な机の上に、右はしがはみ出すように

   角材を置きました。すると、はみ出している部分の長さが

   35cmをこえると、角材は傾いて床の上に落ちました。1個の

   積み木についても同様の実験を行ったところ、はみ出している

   部分の長さが5cmをこえると、積み木は傾いて床の上に落ち

   ました。

   Pic_2717q

【実験2】

   下の図2のように、右はしが25cmだけはみだすように角材を

   机の上に置き、角材の右はしに面がそろうように積み木を1個

   ずつ上に積み重ねていきました。すると【 ① 】個目を積んだ

   ところで角材は傾いて積み木は床の上に落ちました。次に、

   角材のはみ出している部分の長さをいろいろ変えて同様の

   実験を行ったところ、【 ② 】cm以下のときは7個すべての

   積み木を上に積んでも角材は傾きませんでした。

  Pic_2718q

【実験3】

   下の図3のように、角材の左はしに面がそろうように7個の

   積み木を積み重ね、角材の右はしが40cmだけはみだす

   ように机の上に置きました。次に、積み重ねてある積み木を

   上から順に1個ずつ、角材の右はしに面がそろうように移動

   して積み重ねていきました。すると【 ③ 】個目を移動した

   ところで角材は傾いて積み木は床の上に落ちました。

 Pic_2719q

【実験4】

   下の図4のように、角材の上に7個の積み木A~Gを横一列

   にはみ出さないように積み、角材の右はしが33cmだけはみ

   出すように机の上に置きました。次に、7個の積み木を1個

   ずつ角材の上から取り除いたら、取り除く順によって途中で

   角材が傾いて積み木が落ちた場合と、最後まで角材が傾か

   なかった場合がありました。

  Pic_2720q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)文中の【 ① 】~【 ③ 】に入る数字を答えなさい。

(2)【実験4】で、積み木をB→( )→C→( )→A→( )→D の

   順で取り除いたら、最後まで角材は傾きませんでした。( )に

   どのような記号が入りますか。次の中から正しいものをすべて

   選びなさい。

   ア:B→(E)→C→(F)→A→(G)→D

   イ:B→(E)→C→(G)→A→(F)→D

   ウ:B→(F)→C→(E)→A→(G)→D

   エ:B→(F)→C→(G)→A→(E)→D

   オ:B→(G)→C→(E)→A→(F)→D

   カ:B→(G)→C→(F)→A→(E)→D

(3)【実験4】で、積み木をどのような順で取り除いても最後まで

   角材が傾かないためには、角材が机からはみ出している長さ

   を何cm以下にすればよいですか。

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解答

 (1)角材の重さを7g として、積み木1個の重さを1g と考えます。

 

【実験2】のように角材を積んでいき、角材が傾くのは、下の図5の

ような状態になったときです。

Pic_2721a

角材の重さ、積み木の重さは、それぞれの中心にかかるので、

机のはしを支点として、力のつり合いの式を作ると、

  10cm×7g = 20cm×□g 

となり、□=3.5g となります。

 

よって、3個目までは大丈夫で、4個目を積むと傾きます。【 ① 】

 

次に、角材の右はしに7個の積み木が乗っているとき、角材が

傾かないのは、下の図6のように

 Pic_2722a

机の右はしを支点として、角材がつり合えばよいので、

角材7g、積み木7gで、重さの比が 1 : 1 なので、

机の右はしから角材の中心まで、30÷2=15cm ならば

つり合うことがわかります。

 

よって、角材のはみ出している部分の長さが、

 15+5=20cm以下ならば(積み木の中心とはしの長さを足す)

7個の積み木を積んでも角材は傾きません。【 ② 】

 

【実験3】のときも、机のはしを支点として考えていきます。

下の図7のように、最初角材の左はしに7個あった積み木が

1個ずつ右へ移動します。

 Pic_2723a

7個すべて角材の左はしにあるときにかかる力は、

 支点の左側:7×25=175

 支点の右側:7×5 =35  右側と左側の差=140

積み木が1個、角材の右はしへ移動したときにかかる力は、

 支点の左側:6×25=150

 支点の右側:7×5+1×35=70 右側と左側の差=80

となり、積み木が1個移動するごとに、力のつり合いは、

60ずつ変化していきます。

 

よって、角材が傾くのは、積み木を3個、角材の右はしへ移動

させたときです。【 ③ 】

 

 

 (2)最後まで角材が傾かないことから、最後から考えます。

最後に残っているのは、Dの積み木です。

 

その1個前が、E,F,G のどれかとなっていますが、

下の図8のように、F,G に積み木が残っているときは、

力のつり合いの式を作ると、F,G の積み木にかかる力が

大きいので、角材は傾いてしまいます。

  Pic_2724a

よって、Dの前は、E の積み木ということです。

 

最初にBの積み木を取り除き、次が、FかGかですが、

下の図9のように描くと(積み木の上の数は机のはしからの長さ)

  Pic_2725a

F を取り除いたとき、

  左側:32+12+2+7×2=60

  右側:8+28=36

となり、左が重いので傾きません。

G を取り除いたとき、

 左側:Fと同様に60

  右側:8+18=26

となり、左が重いので傾きません。

 

図9の状態から、Cを取り除くと下の図10のようになり、

  Pic_2726a

左側が、共に60-12=48となりますが、共に

まだ左の方が重いので傾きません。

 

ということは、図10の状態から、右側のFまたはGを

取り除いても、左の方が重い状態に変わりませんので、

(エ)、(カ)の2つの方法が正しいことになります。

 

 

 (3)まず、どんな取り除き方でも傾かないので、

最も傾きやすい取り除き方を考えると、左から順に

積み木を取り除くことが考えられ、下の図11の状態で

傾かなければ、残りのE,F,G を取り除いても傾きません。

(軽くなるだけなので)

  Pic_2728a

たとえば、角材の中心が机のはしから左に5cmのところに

あれば、机のはしを支点として、

  左側:7×5=35

  右側:5+15+25=40

なので、傾いてしまいますが、 机のはしから左に9cmのところに

あれば、

  左側:7×9=63

  右側:1+11+21=33

となり、傾きません。

 

図11のように、角材の中心が机のはしから□cm、

積み木E の中心が机のはしから△cmとすると、

 左側:7×□

 右側:△+△+10+△+20=△×3+30

が等しければつり合います。

 また、□+△=10 なので、30=□×3+△×3

ということがわかります。

 

よって、

 左側:□×7

 右側:△×3+□×3+△×3=△×6+□×3

となるので、□×4=△×6 なので、□:△=6:4 です。

□+△=10なので、□=6、△=4 と求められます。

 

ゆえに、角材が傾かないようにするには、はみ出す長さを

  35-6=29cm以下にすればよいです。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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