数の性質 第６７問 （東大寺学園中学 入試問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（東大寺学園中学　入試問題　2012年　算数）　

　　　　 難易度★★★

　一方の面が白、もう一方の面が赤のカード１００枚の両面に

それぞれ１から１００までの数字が書かれています。ただし、

どのカードもその両面には同じ数字が書かれているとします。

すべてのカードの白の面を上に向けて並べてから、次の

【１】～【１００】の操作を順に行います。

【１】　１の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

【２】　２の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

【３】　３の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

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【９８】　９８の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

【９９】　９９の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

【１００】　１００の倍数の数字が書かれたカードをすべて裏返す。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）３回裏返されたカードに書かれている数字をすべて答えなさい。

（２）赤の面が上を向いているカードは全部で何枚ありますか。

（３）４回裏返されたカードに書かれている数字のうち、小さい方

　　 から ４番目の数字を答えなさい。

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解答

　（１）３回裏返されたということは、その数は３個の約数がある

ということを示しています。

数の約数は、たとえばＡという数は、

１×Ａ　、　Ｂ×Ｃ　、　Ｃ×Ｂ　、　Ａ×１　のように

偶数個（１、Ａ，Ｂ，Ｃ の４個） になるのが普通ですが、

１×Ａ　、　Ｂ×Ｂ　、　Ａ×１　のように

同じ数をかけてできた数の約数は、奇数個になります。

よって、３回裏返されたカードは、

　４（１，２，４）、９（１，３，９）、２５（１，５，２５）、４９（１，７，４９）

の４枚です。

　（２）赤の面が上を向いているということは、奇数回裏返された

ということなので、約数が奇数個のものが（１）の他に何枚あるか

調べればよいことになります。

（１）の４枚のほかに、

１、１６（１，２，４，８，１６）、３６（１，２，３，４，６，９，１２，１８，３６）

６４（１，２，４，８，１６，３２，６４）、８１（１，３，９，２７，８１）、

１００（１，２，４，５，１０，２０，２５，５０，１００）

の６枚があり、全部で１０枚です。

　（３）２回裏返されるものは、【素数】と呼ばれる、１とその数で

しか割り切れない数（たとえば７，１１など）です。

小さい数から調べると、

　１　→　１回

　２、３、５、７、１１、１３　→　素数なので２回

　４、９　→　３回

　６、８、１０、１４、１５　→　４回

　１２　→　６回

と分類できるので、４回裏返されたカードのうち、小さい方から

４番目の数字は、１４ です。

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