グラフを読む 第１９問 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（豊島岡女子学園中学　受験問題　2012年　算数）

　　　　 難易度★★★

下の図１のように、２４０ｃｍはなれた２点Ａ，Ｂがまっすぐな線で

結ばれています。この線の上を動く２つの点Ｐ，Ｑがあり、点Ｐは

点Ａから点Ｂにむかって、点Ｑは点Ｂから点Ａに向かって一定の

速さで同時に進み始めます。

　　　　　

点Ｐは点Ｂに向かって進み続けますが、点Ｑは点Ｐと重なる

と同時に向きを反対に変えて、それまでと同じ速さで進み、点Ｂに

着いたときにも向きを反対に変えて、同じ速さで進むということを

くり返します。ただし、点Ｑの速さは点Ｐの速さよりも速いものと

します。また、下の図２は点Ｐと点Ｑが進み始めてからの時間と、

点Ｐと点Ｑの間のキョリの関係を表したものです。このとき、

次の問に答えなさい。

（１）点Ｑの速さは秒速何ｃｍですか。

（２）点Ｐと点Ｑが３回目に重なるのは、２点が出発してから

　　 何秒後ですか。

（３）点Ｐと点Ｑの間のキョリが１０ｃｍになることは全部で何回

　　 ありますか。

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解答

　（１）グラフから、８秒後に点Ｐ，点Ｑは重なり、１６秒後に

点Ｑは点Ｂに戻ったことがわかります。

そこでまず、点Ｐは、１６秒で ２４０－１２０＝１２０ｃｍ

進むので、毎秒 １２０÷１６＝７．５ｃｍ の速さとわかります。

次に、８秒で点Ｐと点Ｑは重なるので、点Ｐと点Ｑは、

１秒ごとに、 ２４０÷８＝３０ｃｍずつ近づきます。

点Ｐは毎秒７．５ｃｍなので、点Ｑは、

　　　　毎秒 ３０－７．５＝２２．５ｃｍ

ということになります。

　（２）グラフより、下の図３のように

赤い部分、黄色い部分、青い部分は相似で、

時間経過と共に相似比 ２：１ となっていきます。

時間を計算していくと、赤い部分は１６秒間、黄色い部分は８秒間、

青い部分は４秒間で、点Ｐと点Ｑが重なるのは、その中間の時間

なので、３回目に点Ｐと点Ｑが重なるのは、２６秒後 です。

　（３）点Ｐと点Ｑの間のキョリが１０ｃｍになるのは、たとえば

下の図４の赤い部分では、

２点が重なる前後に２回あります。

点Ｑが点Ｂに戻ったときを図４のように太線で結びます。

この線の高さが１０ｃｍより低くなると、２点の間のキョリは

１０ｃｍより短くなります。

点Ｑが点Ｂに戻ったとき、点Ｐが点Ｂから１０ｃｍ以上

はなれているのは、

　２４０÷２＝１２０ｃｍ

　１２０÷２＝６０ｃｍ

　６０÷２＝３０ｃｍ

　３０÷２＝１５ｃｍ

　１５÷２＝７．５ｃｍ

４回あり、

　　２４０　→　２回　→　１２０　→　２回　→　６０　→　２回　

→　３０　→　２回　→　１５　→　１回　→　７．５

点Ｐと点Ｑの間のキョリが１０ｃｍになるのは、

　２×４＋１＝９回 です。

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