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2012年6月22日 (金)

場合の数 並べ方 第56問 (吉祥女子中学 算数受験問題 2011年(平成23年度)) 

 

問題 (吉祥女子中学 算数受験問題 2011年) 難易度★★★☆

 

 身長が160cmのA さん、150cmのB さん、140cmのC さん、

130cmのD さん、120cmのE さんがいます。そのうち何人かが

縦に一列に並ぶ並び方について考えます。

 たとえば、A さんと C さんと E さんが下の図のような順番に

並んだとき、この3人を前から見るとC さんとE さんは、A さんの

後ろにかくれてしまい、A さんしか見えませんが、後ろから見ると

3人とも見えます。

   Pic_2984q_2
(絵を上手く描けなかったので、代役にペンギンさんを・・・。) 

 

上の図のような順番に並ぶことを A-C-E と表すことにします。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)B さんと C さんと D さんの3人が縦に一列に並んだところ、

   前から見ると B さんと D さんの2人だけが見えました。

   このときの3人の並び方を答えなさい。

(2)A さんと B さんと C さんの3人が縦に一列に並んだところ、

   前から見ると A さんと B さんの2人だけが見えました。

   このとき考えられる3人の並び方をすべて答えなさい。

(3)A さんと B さんと C さんの3人が縦に一列に並んだとき、

   前から見ると2人だけが見えるような並び方は全部で何通り

   ありますか。

(4)A さんと B さんと C さんと D さんの4人が縦に一列に

   並んだとき、前から見ると2人だけが見えるような並び方は

   全部で何通りありますか。

(5)5人全員が縦に一列に並んだとき、前から見ても後ろから

   見ても2人だけが見えるような並び方は、A さんが前から

   3番目にいる並び方が【 ア 】通り、それ以外の並び方が

   【 イ 】通りあります。【 ア 】、【 イ 】にあてはまる数を

   答えなさい。

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解答

 (1)Cさんが見えないのは、Bさんの後ろにいるからです。

Dさんは、BさんCさんより前にいないと見えなくなります

つまり、Dさんは一番前、次にBさん、最後にCさんという

     D-B-C

の並び方になります。

 

 (2)Cさんは、一番前にいると見えてしまいますので、

Cさんは2番目か3番目です。AさんとBさんが見えるのは、

BさんがAさんより前にいるときです。

 

よって、3人の並び方は、

 B-C-A または B-A-C

となります。

 

 (3)Aさんだけが見えない並び方 → ありません。

Bさんだけが見えない並び方 → C-A-B のとき。

Cさんだけが見えない並び方 → (2)の2通り

以上より、2人だけ見える並び方は、3通り です。

 

 (4)Aさんはどこにいても見えるので、Aさん以外に

Bさん、Cさん、Dさんのうち1人が見えることを考えます。

 

AさんとBさんが見えるのは、(2)の2通りの並び方に、

Dさんが先頭以外に割りこめばよく、2番目、3番目、4番目の

    3通り ×2 =6通り があります。

AさんとCさんが見えるのは、 (3)のC-A-B の並び方に

Dさんが先頭以外に割りこめばよく、3通り があります。

 

AさんとDさんが見えるのは、

 D-A-B-C または D-A-C-B の2通り です。

 

よって、4人が並んで前から2人だけ見える並び方は、

 6+3+2=11通り です。

 

 (5)Aさんが前から3番目にいるときの並び方は、

下の図1のように、1番前と1番後ろが高い並び方のときで、

  Pic_2985a

前の2人が決まれば自動的に後ろの2人も決まります。

(たとえば、前にBさん、Cさんなら、後ろはE さん、Dさん)

なので、Aさん以外の4人から2人を選ぶ選び方が

何通りかあるか調べればよく、6通り です ・・・ 【 ア 】

{(B,C)、(B,D)、(B,E)、(C,D)、(C,E)、(D,E)}

 

Aさんが3番目以外の場所に並んでいて、前からも後ろからも

2人が見えるためには、Aさんが1番前、一番後ろにいては

2人見えませんので、Aさんが2番目または4番目にいる場合

ということになります。

 

Aさんが2番目にいる場合、下の図2のように、前後から見える

のは、黄色いところに並んでいる人です。

  Pic_2986a

また、一番後ろの人は、3番目、4番目の人より背が高く

なければならないので、BさんかCさんになります。

 

一番後ろがBさんの場合、一番前には残り3人のだれが

並んでも大丈夫で、並び方は 3通り となります。

さらに、3番目、4番目の並び方は、残り2人がどちらに

並んでもよく、2通りあります。

よって、一番後ろがBさんの場合の並び方は、

  3×2=6通り です。

 

一番後ろがCさんの場合、Bさんは必ず一番前に並び、3番目、

4番目はDさん、E さんどちらでもよく、並び方は2通りです。

 

よって、Aさんが2番目のときは、6+2=8通り の並び方

となります。

 

Aさんが4番目のときは、2番目のときのまったく逆の並び方を

すればよく、こちらも8通り の並び方があります。

 

よって、Aさんが3番目以外にいるときの並び方は、

     8×2=16通り ・・・ 【 イ 】

と求められます。

 

 

 吉祥女子中学の過去問題集は → こちら

 吉祥女子中学の他の問題は → こちら

 

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