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2012年6月 8日 (金)

場合の数 第53問 式を成立させる (学習院中等科 受験問題 2011年(平成23年度) 算数)

 

問題 (学習院中等科 受験問題 2011年 算数) 

     難易度★★★★

 

1から9までの数字が1つずつ書いてある9枚のカードが

あります。この中から3回カードを引き、1回目のカードの数に

2回目のカードの数をかけ、3回目のカードの数を足すという

計算をします。このとき、次の問に答えなさい。ただし、1度

引いたカードは戻さないものとします。

 

(1)計算結果が1回目のカードの数の3倍になるような引き方は

   何通りありますか。

(2)計算結果が3枚のカードの数をかけた数の6分の1に等しく

   なるような引き方は何通りありますか。

(3)間違えて2回目のカードの数に3回目のカードの数をかけて、

   1回目のカードの数を足してしまいました。このとき正しい計算

   結果よりも 9 小さくなってしまいました。このような引き方は

   何通りありますか。

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解答

 (1)1回目のカードを○、2回目のカードを□、3回目のカードを△

とすると、○×□+△=○×3 となるときがあるかを調べることに

なります。

 

○=1のとき、1×□+△=3 となる(□、△)はありません。

         (2,1)は、すでに1が1回目に出ているので不適。

○=2のとき、2×□+△=6 となる(□、△)=(1,4) です。

○=3のとき、3×□+△=9 となる(□、△)=(1,6) です。

○=4のとき、4×□+△=12 となる(□、△)=(1,8) です。

○=5のとき、5×□+△=15 となる(□、△)はありません。

          (1,10)は、カードが9までなので不適です。

○が6以上になると、

  □=1のとき、△=○×2 なので、△が10以上となります。

  □=2のとき、△=○ となるので不適です。

  □=3以上のとき、計算結果が○の3倍以上になり、不適です。

 

よって、計算結果が1回目のカードの数の3倍になるような

引き方は、3通り です。

 

 

 (2)○×□+△=○×□×△÷6 ということですが、

(○×□+△)×6=○×□×△ と直します。

 

すなわち、下の図1のように、○×□をロウソクのような形で表すと

 Pic_2919a

ロウソク6個と、△6個の合計が、 ロウソク△個 と等しいことに

なります。

 

すると、△は6より大きい数である必要があります。

つまり、7,8,9 です。

 

△=7 のとき、

  図1で、左側は、ロウソク6個+7×6、右側は、ロウソク7個

  なので、ロウソク1個=○×□=42 ということになります。

  このとき、(○、□)=(6,7)または(7,6)ですが、△=7が

  すでに決まっているので、△=7のときは成り立ちません。

 

△=8のとき、△=7と同様に考えると、

  ロウソク2個=○×□×2=8×6 となるので、○×□=24で、

  (○、□)=(4,6)、(6,4)、(8,3)、(3,8) ですが、△=8が

  すでに決まっているので、(○、□)=(4,6)、(6,4)です。

 

△=9のとき、同様に、

  ロウソク3個=○×□×3=9×6 となるので、○×□=18で、

  (○、□)=(2,9)、(9,2)、(3,6)、(6,3) ですが、△=9が

  すでに決まっているので、(○、□)=(3,6)、(6,3)です。

 

よって、計算結果が3枚のカードの数をかけた数の6分の1に等しく

なる引き方は、

 (○、□、△)=(4,6,8)、(6,4,8)、(3,6,9)、(6,3,9)

4通り です。

 

 

 (3)○×□+△=○+□×△+9 となるカードの引き方です。

この式は、左側=□が○個 と △

       右側=□が△個 と ○ と 9

というように考えることができます。

 

これを下の図2のように表すことができます。

【A】の場合は、○が△より大きい数のとき。

【B】の場合は、○が△より小さい数のとき。

   Pic_2920a

ここで、【B】の方は不適切ということがわかります。

なぜかというと、○+9 が △より小さいからです。

△は1~9のどれかなので、○+9は必ず△より大きくなります。

 

よって、【A】の図の方で考えていくと、

 ○×□ と △×□ の差 = ○+9 と △ の差

すなわち、

 ○×□-△×□ = ( ○+9 )-△

ということがわかります。

少し変形させると、

 (○-△)×□=(○-△)+9

この式から、

 ○-△=1のとき、□=10なので、不適

 ○-△=2のとき、2×□=11で、□は整数になりません。

 ○-△=3のとき、3×□=12で、□=4

 ○-△=4のとき、4×□=13で、□は整数になりません。

 ○-△=5のとき、5×□=14で、□は整数になりません。

 ○-△=6のとき、6×□=15で、□は整数になりません。

 ○-△=7のとき、7×□=16で、□は整数になりません。

 ○-△=8のとき、8×□=17で、□は整数になりません。

条件を満たすのは、○-△=3で、□=4 のときということです。

 

よって、条件を満たす引き方は、○-△=3となる(○、△)の

組み合わせの数と同じで、□=4に注意して(4は使用不可能)

 (5,2)、(6,3)、(8,5)、(9,6)

4通り です。

 

 

<別解>

 中学生以上の方は次のように因数分解して解くことが可能です。

 

○×□+△=○+□×△+9 → ○×□-○=△×□-△+9

                    → ○(□-1)=△(□-1)+9

                    → ○(□-1)-△(□-1)=9

                    → (○-△)(□-1)=9

○、△、□が整数なので、

 【(○-△)、(□-1)】=【1,9】、【9,1】、【3,3】 の3通り

考えることができますが、

 【1,9】のとき、□=10 なので不適。

 【9,1】のとき、○-△=9となる○、△は1~9までにはない。

以上より、【3,3】のみとなり、□=4です。

○-△=3 となる(○、△)は、□=4に注意して、

 (5,2)、(6,3)、(8,5)、(9,6)の4通りあるので、

問題のカードの引き方は、4通り ということになります。

 

 

 学習院中等科の過去問題集は → こちら

 学習院中等科の他の問題は → こちら

 

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