規則性の問題 ｎ進法 第９問 （暁星中学 受験問題 2011年（平成23年度） 算数）

問題　（暁星中学　受験問題　2011年　算数）　難易度★★★★

数字の ０，１，２，６，７，８ を使って、

　　０，１，２，６，７，８，１０，１１，１２，１６，１７，１８，２０，２１，…

というように小さい整数から順に並べて作れる数の列があります。

このとき次の問に答えなさい。ただし、０は全ての整数の倍数です。

（１）１２７８ という数字は何番目にありますか。

（２）１２７８ が現れるまでに ５の倍数は何個ありますか。

（３）１２７８ が現れるまでに １２７８も含めて９の倍数は何個

　　 ありますか。

----------------------------------------------

----------------------------------------------

解答

　（１）０，１，２，６，７，８　を　０，１，２，３，４，５ の６つの数に

置き換え、６進法として考えます。（５が６番目の数）

１２７８ は、１２４５ に置き換わり、

　１×６×６×６＋２×６×６＋４×６＋６＝３１８番目

の数字ということがわかります。

　（２）０，１，２，６，７，８，１０，１１，１２，１６，１７，１８，２０，…、

の数の並びで、

　　０　・・・　１番目

　　１　・・・　２番目

　　２　・・・　３番目

　　６　・・・　４番目

　　７　・・・　５番目

　　８　・・・　６番目

　１０　・・・　７番目

　１１　・・・　８番目

　１２　・・・　９番目

　１６　・・・　１０番目

　１７　・・・　１１番目

　１８　・・・　１２番目

　２０　・・・　１３番目

・・・・・・・・・・・・・・・・・

　１２７８　・・・　３１８番目

となっているので、６個の中に１つ「５の倍数」がある

ということになります。

よって、３１８÷６＝５３ なので、５３個 の５の倍数がある

ということになります。

＜別解＞

　地道に調べると、０～８８までに「５の倍数」は、

０、１０，２０，６０，７０，８０ の６個があります。

１２７８までに、

０００、１００，２００，６００，７００，８００，１０００，１１００，１２００

に各６個あり、１２００台には５個あるので、

　 ６×８＋５＝５３個

の５の倍数があることがわかります。

　（３）９の倍数は、各ケタの数字を足して９で割れるかどうかで

判断することができます。０，１，２，６，７，８

１ケタで９の倍数　→　０のみ

２ケタで９の倍数　→　１８，８１、２７，７２　→４通り

３ケタで９の倍数　→　（１，８，０）、（２，７，０）→１２－４＝計８通り

　３つの数字の和が９ → （１，２，６）→６通り、（１，１，７）→３通り

　３つの数字の和が１８ →　（２，８，８）→３通り、６６６

４ケタで９の倍数　→　千の位は１なので、残り３つで９の倍数

　３つの数字の和が８　→　（１，１，６）、（０，２，６）、（０，０，８）、

　　　　　　　　　　　　　　　　　（０，１，７）

　３つの数字の和が１７　→　（１，８，８）、（２，７，８）

　このうち、１２７８以下の４ケタの数は、

　１１１６、１１６１、１０２６、１０６２、１２０６、１２６０、１００８、１０８０、

　１０１７、１０７１、１１０７、１１７０、１１８８、１２７８ の１４通り

以上より、９の倍数は

　１ケタ　→　１通り

　２ケタ　→　４通り

　３ケタ　→　８＋６＋３＋３＋１＝２１通り

　４ケタ　→　１４通り

これらを合計すると、１＋４＋２１＋１４＝４０個 となります。

　暁星中学の過去問題集は　→　こちら

　暁星中学の他の問題は　→　こちら