規則性の問題 ｎ進法 第１０問 （広島大学附属福山中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）
問題 （広島大学附属福山中学 2009年 入試問題 算数）
難易度★★★★
カードがたくさんあり、それぞれに１から順番に１つずつ整数が
書かれています。この中から「３」と「７」が書かれたカードを除いて
いきます。たとえば、２０枚のカードがあったとき、書かれている
整数は１から２０までで、この中から「３」、「７」、「１３」、「１７」を
除くので、残るカードは１６枚となります。このとき、次の問に
答えなさい。
（１）１から１００までの整数が書かれたカード１００枚から、
「３」と「７」の書かれたカードをすべて除くと、何枚残りますか。
（２）１からＡまでの整数が書かれたカードＡ枚から、「３」と「７」の
書かれたカードをすべて除くと、４００枚のカードが残りました。
最初にあったカードの枚数Ａを求めなさい。
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解答
（１）下の図のように、緑の部分が「３」と「７」を含む整数です。
１００を「００」として、「００」から「９９」までのうち、「３」と「７」を
含まない整数は、十の位、一の位が共に８通りあるので、
８×８＝６４個 となり、残るカードは６４枚です。
（２）「０」、「１」、「２」、「４」、「５」、「６」、「８」、「９」の８枚で
整数を表すという、『８進法』の問題です。
（８個の数字しか用いていないので）
（１）では、『８進法』の１００を『１０進法』に直すと、
８×８×１＋０＋０＝６４ となります。
（２）では、『８進法』のＡを『１０進法』に直すと４００になったということ
なので、『１０進法』の４００を『８進法』に直します。
８×８＝６４ ですが、８×８×８＝５１２ となり、４００を超えるので、
４００÷６４を計算すると、６あまり１６
１６÷８を計算すると、２あまり０ となります。
以上から、４００＝６×８×８＋２×８＋０ と表すことができるので、
『１０進法』の４００は『８進法』の６２０ と直せます。
この問題では、「３」と「７」を用いない８進法なので、
「０」、「１」、「２」、「３」、「４」、「５」、「６」、「７」 は、それぞれ
「０」、「１」、「２」、「４」、「５」、「６」、「８」、「９」 に当たります。
よって、普通の８進法の「６２０」は、この問題では「８２０」と
なり、最初にあったカードの枚数Ａは、８２０枚 です。
【関連問題】
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コメント
面白い問題ですね。
（１）も８進数と考えて、８進数の１００を１０進数に直して６４でも良いですね。
投稿: mariokelmonaco | 2010年8月25日 (水) 00時53分
mariokelmonacoさん、コメントありがとうございます。
そうですね。８進法に気づくことができれば、
そのように解くことができますね
また気づいたことがありましたら、コメント下さい。今後ともよろしくお願いします。
投稿: 桜組 | 2010年8月25日 (水) 18時36分
この問題の場合8進法における0,1,2,3,4,5,6,7は10進法においては0,1,2,4,5,6,8,9に相当しますので、8進法で620になる値は10進法では820になります。
よって最初にあったカードの枚数は820枚になります。
私は百の位ごとに残るカードの枚数を考えて解きました。
投稿: 万打無 | 2010年11月10日 (水) 07時38分
万打無さま、コメントありがとうございます。
ご指摘のとおり、最後に「６２０」を「８２０」に
直さなければなりませんでした。
確実に解くために、百位ずつ計算して、
０，１，２，４，５，６まで（６００まで）で
６×６４＝３８４枚 で、４００までの残り１６枚は
７００台はないので、８０１から数えると
８２０になり、解答の８２０枚を導くことができますね。
いつもありがとうございます。
またコメントよろしくお願いします。
投稿: 桜組 | 2010年11月10日 (水) 17時39分