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2012年6月15日 (金)

場合の数 第54問 階段の上り方 (公文国際学園中等部 2008年、鎌倉学園中学 2012年、本郷中学 2010年、開明中学 2011年、慶應義塾中等部 2007年、四天王寺中学 2012年、江戸川学園取手中学 2011年 受験問題 算数)

 

問題 (公文国際学園中等部 2008年、鎌倉学園中学 2012年、

     本郷中学 2010年、開明中学 2011年、

     慶應義塾中等部 2007年、四天王寺中学 2012年、

     江戸川学園取手中学 2011年 受験問題 算数)

     難易度★★★★★

 

 下の図のような階段があります。

Pic_1077q

(1)階段を1段ずつ上る上り方と、2段ずつ上る上り方で

   上ります。下りたり、ほかの上り方はしないとき、

   (ア)3段目まで上る上り方は何通りありますか。

   (イ)6段目まで上る上り方は何通りありますか。

   (ウ)8段目まで上る上り方は何通りありますか。

   (エ)10段目まで上る上り方は何通りありますか。

     (公文国際学園中等部 2008年、鎌倉学園中学 2012年、

      本郷中学 2010年、開明中学 2011年)

 

(2)10段の階段を次の上り方を用いて上ります。

    ①1段ずつ上る 例:1段目の次は2段目に着く。

    ②2段ずつ上る 例:1段目の次は3段目に着く。

    ③3段ずつ上る 例:1段目の次は4段目に着く。

 下りたり、他の上り方はしないとき、

 (ア)4段目まで上る上り方は何通りありますか。

 (イ)10段目まで上る上り方は何通りありますか。

                       (慶應義塾中等部 2007年)

 (ウ)5段目まで上る上り方は何通りありますか。

 (エ)5段目をふんで、9段目まで上る上り方は何通りありますか。

    ただし、①、②、③の上り方をそれぞれ必ず1回以上使う

    ものとします。

                        (四天王寺中学 2012年)

 

(3)A君、B君、C君の3人が、10段の階段を後戻りすることなく

  10段目まで上ります。3人は自分が何段目を使って上がって

  行ったかを順に記録していきます。1歩でA君とB君は1段

  または 2段を上り、C君は1歩で1段または2段または3段を

  上れるとき、次の問に答なさい。

   (ア)A君は9歩で10段目まで上りました。記録される数字は

     何通りありますか。

   (イ)B君は8歩で10段目まで上りました。記録される数字は

     何通りありますか。

   (ウ)C君は7歩で10段目まで上りました。記録される数字は

     何通りありますか。

                   (2011年 江戸川学園取手中学)

----------------------------------------------

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解答

 (1)(ア)上る前を0段目とすると、3段目までの上り方は、

下の図1のように、0→1→2→3、0→2→3、0→1→3

Pic_1078a

以上の3通り です。

 

 

 (1)(イ)図1では、1段目までの上り方は1通り、2段目までの

上り方は2通り、3段目までの上り方は3通りとわかります。

図1の矢印は、下の図2のように解釈できます。

Pic_1079a

3段目にたどり着く赤い矢印と青い矢印は、

2段目までの2通りと、1段目までの1通りの和で、

1+2=3通り と表すことができます。

 

同様にして、6段目までの和は、下の図3のように

      Pic_1080a

5段目までの上り方と、4段目までの上り方の和となります。

 

ここで、4段目までの上り方は、

3段目までの上り方(3通り)+2段目までの上り方(2通り)=5通り

5段目までの上り方は、

4段目までの上り方(5通り)+3段目までの上り方(3通り)=8通り

と求めることができるので、

6段目までの上り方は、

8+5=13通り となります。

 

なお、このように前の2つの数の和から成る数の列を

フィボナッチ数列と呼びます。

 

 

 (1)(ウ)フィボナッチ数列の続きをすると、

7段目までの上り方は、8+13=21通り

8段目までの上り方は、13+21=34通り となります。

 

 

 (1)(エ)さらに続きを計算すると、

9段目までの上り方は、21+34=55通り

10段目までの上り方は、34+55=89通り となります。

 

 

 

 (2)(ア)4段目までの上り方は、下の図4のように、

Pic_10811a

 0 → 1 → 2 → 3 → 4

 0 → 3 → 4

 0 → 1 → 3 → 4

 0 → 2 → 3 → 4

 0 → 1 → 2 → 4

 0 → 2 → 4

 0 → 1 → 4

以上の7通り があります。

 

 

 (2)(イ)図4から、1段目までの上り方は1通り、2段目までの

上り方は2通り、3段目までの上り方は4通り、4段目までの上り方

が7通りということがわかります。

 図4の矢印は、下の図5のように解釈することができます。

Pic_10812a

4段目にたどり着く赤い矢印と青い矢印と緑の矢印は、

3段目までの4通りと、2段目までの2通りと、1段目までの1通り

の和で、1+2+4=7通り と表すことができます。

 

すると、同様に考えると10段目までの上り方は、

7段目までの上りかた、8段目までの上りかた、9段目までの上り方

の和で求めることができます。

 

順次計算すると、

 5段目までの上り方=2+4+7=13通り

 6段目までの上り方=4+7+13=24通り

 7段目までの上り方=7+13+24=44通り

 8段目までの上り方=13+24+44=81通り

 9段目までの上り方=24+44+81=149通り

 10段目までの上り方=44+81+149=274通り

となります。

 

なお、このように前の3つの数の和から成る数の列を

トリボナッチ数列と呼びます。

 

 

 (2)(ウ)(イ)より、13通り です。

 

 

 (2)(エ)5段目までの上り方は 13通り あり、

5段目から9段目までは、4段あるので、(イ)より、

4段の上り方は 7通り あります。この2つの組み合わせで、

    13×7=91通り

と簡単にいくわけではありません。①、②、③の上り方を

それぞれ1回使わなければならないので、91通りに含まれる

①、②、③を1回も使っていない上り方を除かなければ

なりませんが、それぞれ調べなければなりません。

 

(イ)より、4段の上り方の 7通り は、

   A ①①①①

   B ①①②

   C ①②①

   D ②①①

   E ①③

   F ③①

   G ②②

です。

 

5段の上り方13通り も同様に書き出し、必要な上り方を調べると

   H ①①①①① → ②、③が必要 → なし

   I  ①①①② → ③が必要 → E,F の2通り

   J ①①②① → ③が必要 → E,F の2通り 

   K ①②①① → ③が必要 → E,F の2通り

   L ②①①① → ③が必要 → E,F の2通り

   M ①②② → ③が必要 → E,F の2通り

   N ②①② → ③が必要 → E,F の2通り

   O ②②① → ③が必要 → E,F の2通り

   P ①①③ → ②が必要 → B,C,D,G の4通り

   Q ①③① → ②が必要 → B,C,D,G の4通り

   R ③①① → ②が必要 → B,C,D,G の4通り

   S ②③ → ①が必要 → G以外の6通り

   T ③② → ①が必要 → G以外の6通り

のような組み合わせが必要になります。

 

よって、5段目をふんで、9段目まで上る上り方は

 2×7+4×3+6×2=38通り

となります。

 

 

 

 (3)(ア)A君は1歩で1段または2段上り、9歩で10段目に

達しているので、どこのか1段だけ、【2段上り】したことになり、

すなわち、1段目~9段目のどこかを飛ばしたことになります。

(10段目を飛ばすことはできません)

 

よって、記録される数字:上り方は、9通り です。

 

 

 (3)(イ)B君は1歩で1段または2段上り、8歩で10段目に

達しているので、【2段上り】を2回したことになります。

1段目~9段目の中から、飛ばす2段を選ぶと何通りあるか

考えます。

 

1段目~9段目から2つの段を選ぶ選び方は、

下の図6のように数えればよく、

 Pic_10821a

 8+7+6+5+4+3+2+1=(1+8)×8÷2=36通り

あります。

 しかし、ここで、たとえば「1段目と2段目」のように、

連続した2つの段を選ぶと、B君は階段を上れません。

(1段目を飛ばしたら、必ず2段目に足をつけるので)

 

よって、36通りから、1段目-2段目、2段目-3段目、・・・

8段目-9段目 の8通りを除く必要があり、B君が

記録される数字:上り方は、36-8=28通り です。

 

<別解>

 歩数に注目すると、8歩のうち、どこかの2歩で【2段上り】をした

ことになるので、それが何歩目と何歩目だったのかを調べればよく、

下の図7のように数えて、 

  Pic_10822a

 7+6+5+4+3+2+1=(1+7)×7÷2=28通り 

と求めることもできます。(8個から2個選ぶ選び方:8×7/2×1)

 

 

 (3)(ウ)C君は1歩で1段または2段または3段上り、7歩で

10段目まで達しているので、【2段上り】を3回、または、

【2段上り】と【3段上り】を1回ずつ という手段を用いたことに

なります。

 

(イ)と同様に、飛ばした段に注目する解き方をすると、

【2段上り】をされた段として、「○段目、△段目、□段目」を

(○、△、□)で表し、1段目から飛ばされた順に考えると、

 (1,3,5)、(1,3,6) ~ (1,3,9) : 5通り

 (1,4,6)、(1,4,7)、(1,4,8)、(1,4,9) : 4通り

 (1,5,7) ~ (1,5,9) : 3通り

 (1,6,8)、(1,6,9) : 2通り

 (1,7,9) : 1通り まで、5+4+3+2+1=15通り

 --------------------------------

 (2,4,6) ~ (2,4,9) : 4通り

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 (2,7,9) : 1通り まで、4+3+2+1=10通り

 --------------------------------

 (3,5,7) ~ (3,5,9) : 3通り

 (3,6,8)、(3,7,9) : 2通り

 (3,7,9) : 1通り まで、3+2+1=6通り

 --------------------------------

 (4,6,8)、(4,6,9) : 2通り

 (4,7,9) : 1通り まで、2+1=3通り

 --------------------------------

 (5,7,9) : 1通り

 

以上より、【2段上り】を3回する上り方は、

 15+10+6+3+1=35通り とわかります。

 

次に、【2段上り】と【3段上り】を1回ずつについて同様に考えます。

【2段上り】を先にして【3段上り】を後にすると

  (1,3,4)、(1,4,5) ~ (1,8,9) : 6通り

  (2,4,5) ~ (2,8,9) : 5通り

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  (6,8,9) : 1通り

のようになり、【2段上り】を先にして【3段上り】を後にすると

 6+5+4+3+2+1=21通り あります。

 

【3段上り】を先にして【2段上り】を後にすると、

  (1,2,4) ~ (1,2,9) : 6通り

  (2,3,5) ~ (2,3,9) : 5通り

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  (6,7,9) : 1通り

のようになり、やはり、6+5+4+3+2+1=21通り です。

 

よって、C君が記録される数字:上り方は、

 35+21+21=77通り です。

 

<別解>

 (イ)の別解と同様に、歩数に注目した解き方をすると、

①:どこかの3歩で【2段上り】をした

②:どこかの2歩で【2段上り】と【3段上り】をした

ということになります。

 

①について、7歩から3歩を選ぶ選び方は、図7と同様の図になり、

○歩目、△歩目、□歩目を(○、△、□)と表すと、

 (1,2,3)~(1,2,7) : 5通り

 (1,3,4)~(1,3,7) : 4通り

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 (1,6,7) : 1通り まで、5+4+3+2+1=15通り

 --------------------------------

 (2,3,4)~(2,3,7) : 4通り

 (2,4,5)~(2,4,7) : 3通り

 (2,5,6)、(2,5,7)  : 2通り

 (2,6,7) : 1通り まで、4+3+2+1=10通り

 --------------------------------

 (3,4,7)~(3,4,7) : 3通り

 (3,5,6)、(3,5,7)  : 2通り

 (3,6,7) : 1通り まで、3+2+1=6通り

 --------------------------------

 (4,5,6)、(4,5,7) : 2通り

 (4,6,7) : 1通り まで、2+1=3通り

 --------------------------------

 (5,6,7) : 1通り

以上より、①:どこかの3歩で【2段上り】をした場合は、

 15+10+6+3+1=35通り です。

(7個から3個を選ぶ選び方:7×6×5/3×2×1)

 

次に、②については図7を「7歩」までで考え、

  先に【2段上り】、後に【3段上り】 

           と

  先に【3段上り】、後に【2段上り】

と2通り考えられるので、図7を参考にして、

 (1+6)×6÷2×242通り

とわかります。

(7個から2個選ぶ選び方:7×6/2×1=21 で、21が2通り)

 

よって、C君が記録される数字:上り方は、35+42=77通り

と求めることができます。

 

 

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