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2012年5月18日 (金)

てんびん 第6問 (筑波大学附属駒場中学 2008年(平成20年度) 受験問題 理科)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2008年 受験問題 理科)

     難易度★★★★

 

あきら君とまさる君は放課後に理科室で、実験用てこの装置を

使ってゲームをしました。以下の文章を読み、各問に答えなさい。

 

【準備】

実験用てこ、重さの分からないおもり1個、同じ重さの分銅9個

を用意しました。何もつるしていない状態で、実験用てこを机の

上に置いたところ、左右のうでは水平につりあいました。また、

てこの支点O,おもりをつるす位置A~Jは等しい間かくになって

いました。初めに、重さのわからないおもりを机の上に置き、

真上にあるAに糸がたるまないようにつなぎました。左右のうでは

傾きませんでした。次に、下の図1のように、Jに分銅を1個

つるしましたが、左右のうでは傾きませんでした。

Pic_2654q

  

【ゲームのルール】 以下のルールで2人はゲームを行いました。

(1)2人はB~I のあいている位置に分銅を1個ずつ、

  「あきら君 → まもる君 → あきら君 → まもる君 →・・」

  の順につるしていきます。ただし、同じ位置に2個以上の

  分銅をつるしてはならない。

(2) I に分銅をつるして左右のうでが傾かなかったら、つるした者

  を「勝ち」とする。傾いたら、つるした者を「負け」とする。

(3) I につるす前に他の位置に分銅をつるして左右のうでが

  傾いたら、つるした者を「負け」とする。傾かなかったらゲーム

  を続ける

 

【第1ゲーム】

  あきら君は初めに I に分銅をつるしたところ、左右のうでが

  傾いたので、あきら君の「負け」となった。

【第2ゲーム】

  あきら君は初めにGに分銅をつるしたところ、左右のうでが

  傾いたので、あきら君の「負け」となった。

【第3ゲーム】

  あきら君は初めにFに分銅をつるしたところ、左右のうでは

  傾かなかった。その後、下の表1のように、まさる君はDに、

  あきら君は<①>に分銅をつるし、まさる君は4回目の操作

  で I に分銅をつるしたところ、左右のうでは傾かなかったので

  まさる君の「勝ち」となった。

Pic_2655q

【第4ゲーム】

  2人は下の表2のように分銅をつるしていきました。そして、

  あきら君は7回目の操作で I に分銅をつるしたところ、左右の

  うでが傾かなかったので、あきら君の「勝ち」となりました。

  その後、2人は【第4ゲーム】の内容をよく検討し、2~6回目の

  どの操作でも、そのときに分銅を I につるすと左右のうでが

  傾くことがわかりました。

Pic_2656q  

問1 <①>に入るアルファベットは何ですか。考えられるもの

    すべて答えなさい。

問2 【第4ゲーム】で分銅がつるされなかった位置はどこ

    ですか。アルファベットで答えなさい。

問3 ゲームのルールと【第4ゲーム】の検討に注意し、

    表2の②~⑥に入るアルファベットを答えなさい。

 

---------------------------------------------

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解答

 問1 てこの装置の各アルファべットの間かくを1cmとします。

また、分銅の重さも、簡単のために1g とします。

 

まず、Aにつるしてある「おもり」の重さ□gについて考えます。

【第2ゲーム】と【第3ゲーム】の結果から、つり合いの式を考え、

  □×5=1×5+1×2 → 傾く

  □×5=1×5+1×1 → 傾かない

ということなので、おもりの重さ□g は、

  6g以上7g未満とわかります。

 

おもりがAにつるされても棒が傾かないので、

【第3ゲーム】では、D,F,Jでの力のつり合いの式を考えて、

  2×1(左側) : 1×1+5×1=6 (右側)

となっています。つまり、右の方が4重いことになります。 

あと左側に3,4gを足してもつり合いは保たれるので、

B,Cに分銅をつけることができます。

 

E,G,H に関しては、①の後に I に分銅をつけることを

考えると、

  E : 1×1+2×1 (左側) : 1×1+4×1+5×1(右側)

    となり、右側が7重いことになり、Aについているおもりでは

    支えきることができません。

右にいくほど、支えきれなくなります。

よって、①に入るアルファベットは、です。

 

 

問2 力のつり合いの式で、おもりを除いて、うでの右側、左側の

差が6以下になるようになればよいですね。

 

うでの右側に全部分銅がついていたとすると、右側にかかる力は

 1+2+3+4+5=15 です。

残る左側は、1ヶ所が分銅がない状態で、さらに最初にE の

位置に分銅がつくので、B,C,D のどこかが分銅なしになります。

しかし、左側にかかる力は、全部分銅がついたとしても

 1+2+3+4=10 で、

ここで、B(2),C(3),D(4)のどこかが抜けると、右側との差が

7以上となり、Aのおもりで支えきれません。

 

よって、分銅がつるされていないのは、右側のどこかとなります。

 

左側は、すべて分銅がつくことになるので、左側の力は10です。

右側は、最後の I に分銅がつるされる前も水平になる必要が

あります。

 

右側は、I を除いて、1+2+3+5=11 なので、

G、Hに分銅がつるされていないと、うでが傾くことになります。

よって、分銅がつるされていなくても大丈夫なのは、 の位置

ということになります。(2+3+5=10となりつり合うので)

 

 

 問3 2~6回目の操作では、I に分銅をつるすと傾くので、

それを参考にして順番を決めていきます。

 

まず、②に関して、下の図2(③の位置に I が入っている状態)

より考えると、

Pic_2657a

右側の力は、4+5=9、左側の力は1 です。

これが「傾く」ためには、Dの位置(左側1+2=3)

またはGの位置(第2、第3ゲームの状態にE の位置に分銅が

ついている状態なので、②がHの位置では、そもそも傾く) です。

 

②がDの位置の場合、下の図3(④の位置に I が入っている状態)

のようになります。

Pic_2658a

このどこかに③の位置があり、そこに分銅をつけると傾きます。

そのようになる位置は、GかHです。

 

③の位置がG のとき、下の図4(⑤の位置に I が入っている状態)

のようになります。

Pic_2659a

このどこかに④の位置があり、そこに分銅をつるすと傾きます。

そのような位置は、ありません。(B,Cでは傾かない、F には

何もつるさない、Hは、I がなくとも傾いてしまう)

 

③の位置がH の場合でも、Gの場合と同様になるので、

②の位置がDではないことになり、②の位置はGとなります。

 

②の位置がGのとき、下の図5(③の位置に I が入っている状態)

のようになり、

Pic_2660a

右側が2+4+5=11、左側が、1なので、

左側が2または3であれば傾くので、③の位置はCまたはDです。

 

③の位置がC のとき、下の図6(④の位置に I が入っている状態)

のようになり、

Pic_2661a

これが傾くためには、Hの位置に分銅をつるすしかありません。

よって、④の位置はH です。

 

④の位置がHのとき、下の図7(⑤の位置に I が入っている状態)

のようになり、

Pic_2662a

これが傾くには、Dの位置に分銅をつけることになります。

(右側の力が、2+3+4+5=14、左側が、1+2+3=6で

 傾く。Bでは、1+3+4=8で、傾かない)

 

⑤の位置がDのとき、⑥の位置はBとなり、最後まで条件を満たし

ます。

 

一方、③の位置がDのとき、下の図8(④の位置に I が入っている

状態)のようになり、

Pic_2663a

右側の力は、2+4+5=11、左側は、1+2=3で、

B,Cに分銅をつるしても傾きません。

Hは、そもそも I がない状態でつるすと傾いてしまうので

分銅をつるすことができません。よって、③の位置はDでは

ないということになります。

 

よって、②:G、③:C、④:H、⑤:D、⑥:B となります。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

問2の答えはEではなくFになります。

投稿: 万打無 | 2012年5月19日 (土) 03時01分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘のように、解答に誤りがありましたので
訂正させていただきました。

またお気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年5月22日 (火) 16時59分

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