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2012年5月22日 (火)

計算問題 第76問 (約束記号) (麻布中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 受験問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

1以上の2つの整数に対し、それぞれの数をそれらの最大

公約数で割った商の和を計算することを考えます。たとえば

18 と 12 の最大公約数は 6 なので、

   18÷6+12÷6 = 3+2 = 5

となります。このことを【18,12】=5 と表すことにします。

このとき次の問に答えなさい。

 

(1)【 ア、イ 】=8 となるような ア、イ の組のうち、

   ア、イ の和が 16 となるようなものを4つ答えなさい。

(2)【 12、ウ 】=8 を満たす整数 ウ を2つ答えなさい。

(3)【 30、エ 】=9 を満たす整数 エ をすべて答えなさい。

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解答

 (1)アとイの最大公約数をA とすると、

   ア÷A+イ÷A=(ア+イ)÷A=8

ということになります。

   ア+イ=16

なので、A=16÷8=2 、つまり最大公約数は2、

ア、イ は偶数ということがわかります。

 

ア+イ=16 で、最大公約数が2のア、イの組なので、

 (ア、イ)=(2,14)、(6,10)、(10,6)、(14,2)

となります。

 

 (2)12の約数は、1,2,3,4,6,12 の6個あります。

12とウの最大公約数は、この6個のどれかとなります。

 

最大公約数が1のとき、12÷1=12、なので、8になりません。

最大公約数が2のとき、12÷2=6 なので、

 ウ=2×(8-6)=4 ですが、4と12の最大公約数は4で、

  条件を満たしません。

最大公約数が3のとき、12÷3=4 なので、

  ウ=3×(8-4)=12 ですが、12と12の最大公約数は12で、

  条件を満たしません。

最大公約数が4のとき、12÷4=3 なので、

  ウ=4×(8-3)=20 です。

最大公約数が6のとき、12÷6=2 なので、

  ウ=6×(8-2)=36 ですが、12と36の最大公約数は12で、

  条件を満たしません。

最大公約数が12のとき、12÷12=1 なので、

  ウ=12×(8-1)=84 です。

 

以上より、ウ=20 または 84 です。

 

 (3)30の約数は、1,2,3,5,6,10,15,30 の8個です。

(2)と同様にして調べていきます。

 

最大公約数が1,2,3 のときは、【30、エ】=9 になりません。

最大公約数が5のとき、30÷5=6 なので、

  エ=5×(9-6)=15 ですが、30と15の最大公約数は15で、

  条件を満たしません。

最大公約数が6のとき、30÷6=5 なので、

  エ=6×(9-5)=24 です。

最大公約数が10のとき、30÷10=3 なので、

  エ=10×(9-3)=60 ですが、30と60の最大公約数は30で、

  条件を満たしません。

最大公約数が15のとき、30÷15=2 なので、

  エ=15×(9-2)=105 です。

最大公約数が30のとき、30÷30=1 なので、

  エ=30×(9-1)=240 です。

 

以上より、エ=24 または 105 または 240 です。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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