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2012年5月 2日 (水)

場合の数 第52問 ある数字で作られる整数 (聖光学院中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (聖光学院中学 受験問題 2012年 算数) 

     難易度★★★★

 

 次の【ア】~【オ】にあてはまる整数を答えなさい。

(1)1ケタの数は0と1、2ケタの数は0と1と2、3ケタの数は0と1と

   2と3、4ケタの数は0と1と2と3と4 を使って作り、これらを

   小さい方から並べると、

    0,1,10,11,12,20,21,22,100,101,

     102,103,110,111,112,・・・,4444

   となります。このとき、小さい方から25番目の数は【ア】です。

   また、4444は【イ】番目の数です。

(2)次に、すべての1ケタの数、9を含まない2ケタの数、8と9を

   含まない3ケタの数、7と8と9を含まない4ケタの数という

   規則で、5ケタ以上の数も作っていき、小さい方から並べると、

    0,1,2,3,・・・,8,9,10,11,・・・,87,88,100,

    101,・・・,777,1000,・・・

   となります。このとき、最も大きい数は【ウ】ケタで、【ウ】ケタの

   数は全部で【エ】個あります。また、2012以下の数は全部で

   【オ】個あります。

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解答

 (1)1ケタの数は、0,1 ・・・ 2個

2ケタの数は、10~22まで  

  一の位3通り × 十の位2通り = 6個

3ケタの数は、100~333まで  

  一の位4通り × 十の位4通り × 百の位3通り = 48個

4ケタの数は、1000~4444まで

 一の位5通り × 十の位5通り 

          × 百の位5通り × 千の位4通り = 500個

よって、最後の数 「4444」 は、

 2+6+48+500=556番目 の数です ・・・ 【イ】

 

25番目の数は、3ケタの数で、25-(2+6)=17番目 の数で、

  100~133 ・・・ 16個

  200~233 ・・・ 16個

  300~333 ・・・ 16個

なので、3ケタで17番目の数は、200 です ・・・ 【ア】

 

 (2)使える数と、そのケタ数について調べると、

0~9 ・・・ 1ケタ

0~8 ・・・ 2ケタ

・・・・・・・・・・・・・・・

0~1 ・・・ 9ケタ    (ケタ数と、使える最大の数を足すと10)

0    ・・・ 10ケタ → 「0」だけなので、1ケタになってしまう。

 

よって、最も大きい数は 9ケタ です。 ・・・ 【ウ】

 

0と1を用いて9ケタの数が何個作れるかを考えると、

 100000000 から 111111111 までの9ケタの数があり、

最も左の「1兆の位の1」以外の 8ケタの部分に、「0」または「1」

のどちらかが入り、それぞれのケタにつき2通りあるので、

作れる9ケタの数の個数は、2通りを8回かけて、

  2×2×2×2×2×2×2×2=256個  ・・・ 【エ】

とわかります。

 

次に、2012以下の個数について考えます。

2012は4ケタの数なので、1~4ケタの数がそれぞれ何個

あるのか調べると、

 0~9 ・・・ 1ケタ → 10個

 0~8 ・・・ 2ケタ 

   → 十の位:1~8の8通り 一の位:0~8の9通り

   → 8×9=72個

 0~7 ・・・ 3ケタ

   → 百の位:1~7の7通り 十の位、一の位:0~7の9通り

   → 7×8×8=448個

 0~6 ・・・ 4ケタ

  このうち、千の位が「1」のものは

    百の位、十の位、一の位:0~6の7通り 

    → 7×7×7=343個

  2000~2012までは、

   2000~2006、2010、2011、2012 → 10個

以上のようになります。

 

よって、2012以下の数は、

 10+72+448+343+10=883個 ・・・ 【オ】

あることがわかります。

 

 

 聖光学院中学の過去問題集は → こちら

 聖光学院中学の他の問題は → こちら

 

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