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2012年5月25日 (金)

規則性の問題 数の並び 第53問 (横須賀学院中学 2010年、慶應義塾中等部 2001年 改題 入試問題 算数)

 

問題 (横須賀学院中学 2010年、

     慶應義塾中等部 2001年 改題) 難易度★★★★

 

【 1 】

 次の【列1】のように、ある規則に従って分数が並んでいます。

Pic_27951q

このとき、1/200 より大きい分数は何個ありますか。

                     (横須賀学院中学 2010年)

 

【 2 】

 次の【列2】のように、ある規則に従って分数が並んでいます。

Pic_27952q

このとき、次の問に答なさい。

 

(1)この中に、1/50より大きい分数は何個あるか求めなさい。

(2) (1)の中で最も1/50に近い分数を答えなさい。

                  (慶應義塾中等部 2001年 改題)

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解答

 分数は、分子が同じ場合、分母が大きいほど、数としては

 小さくなっていきます。

 

【 1 】

 1/200 = 2/400 なので、列1の中から、

   ① : 分子が1で、分母が200より小さいもの

   ② : 分子が2で、分母が400より小さいもの

の数を調べればよいことがわかります。 

 

①の場合、分母は、1,5,9,13,・・・ となり、4で割って1余る数

となっています。このようなものは、200までに、200÷4=50個

あります。

 

②の場合、分母は、3,7,11,15,・・・となり、4で割って3余る数

となっています。このようなものは、400までに、400÷4=100個

あります。

 

よって、【列1】に1/200より大きい分数は、

     50+100=150個 あります。

 

 

【 2 】

 (1)並んでいる分数は、分母は奇数が1から、

分子は1,2,3のくり返し、ということがわかります。

 

1/50より大きいもの → 分子が1で、分母が50より小さいもので、

      1/50=2/100=3/150 なので、

 分子が2で、分母が100より小さいもの

 分子が3で、分母が150より小さいもの

以上のものが何個あるか調べます。

 

まず、分子が1で、分母が50より小さいものの分母は

1,7,13,19,25、、、と、6おきに並びます。

その数は、6で割って、あまりがあるときは商+1個です。

50÷6=8あまり2ですので、8+1=9個 あります。

 

分子が2で、分母が100より小さいものの分母は

3,9,15,21、、、、と、同様に6おきに並びます。

その数も、6で割ってあまりがあれば商+1個です。

100÷6=16あまり4ですから、16+1=17個 です。

 

分子が3で、分母が150より小さいものの分母は、

5,11,17,23、、、と、同じく6おきに並びます

その数も、6で割ると、150÷6=25個 です。

あまりがないときは、商と同じ数になります。

(確認:6までだったら1個、12までだったら2個)

 

よって、1/50より大きい分数は

9+17+25=51個 となります。

 

 (2)1/50に一番近い分数は、というと、

分子が1,2,3のものそれぞれで、

分母が一番大きいもので比較しましょう。

 

分子が1で50に一番近い分母は、

1,7,13,19,25・・・の並びから、

分母=6×個数-5と表せるので、6×9-5=49です。

分子が2で100に一番近い分母は、

同様に分母=6×個数-3と表せるので、6×17-3=99。

分子が3で150に一番近い分母は、

同様に分母=6×個数-1なので、6×25-1=149

 

このことから、以下のように、

  Pic_2796a

 

 

 横須賀学院中学の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 横須賀学院中学の他の問題は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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