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2012年5月10日 (木)

論理 第14問 (大阪桐蔭中学 受験問題 2010年(平成22年度) 算数)

 

問題 (大阪桐蔭中学 受験問題 2010年 算数) 

     難易度★★★☆

 

次の文章を読み、【ア】~【ク】に入る数を求めなさい。ただし、

同じ記号の場所には同じ数が入ります。

 

 友子さんのお父さんの会社で、新しい携帯電話が作られました。

この携帯電話がどのくらい丈夫かを調べるために、お父さんは

携帯電話をビルの窓から落として壊れるか壊れないかを調べる

実験をすることになりました。たとえば、ビルの11階の窓から

落とすと壊れるが、10階の窓から落としても壊れないと分かれば

「この携帯電話はビルの10階の窓から落としても壊れません」

と宣伝することができます。

 いま、実験で壊してもよい携帯電話は2台まで、落とす実験は

10回までできるとして、1階から最も高い階までについて、

落として壊れるかどうかを1階きざみで調べていくことができる

最も効率の良い手順について考えてみます。

 もし携帯電話が1台壊れて残り1台だけになってしまったら、

そのあとは下の階から順に調べていくしかなくなるので、1回目は

【 ア 】階から落とすことにします。ここで携帯電話が壊れずに

すめば、【 ア 】階より上の階についても同じように考えて、

2回目は【 イ 】階から落とすことにします。もしここで携帯電話が

壊れたら、残りの1台を使って、あと8回以下の実験で【 ア 】階

と【 イ 】階の間の階を下から順に調べ、それでも壊れなければ

同じように考えてさらに上の階から落とすということをくり返して

いきます。すると、1階から【 ウ 】階までの階について、落として

壊れるかどうかを1階きざみで調べられることがわかります。

 このやり方で実験したとき、1台目の携帯電話が最初の実験

から数えて4回目に壊れ、2台目の携帯電話が最初の実験から

数えて6回目に壊れたとします。すると、3回目には【 エ 】階、

4回目には【 オ 】階から落としたことになるので、「この携帯

電話はビルの【 カ 】階の窓から落としても壊れません」と宣伝

することができます。

 さらに、実験で壊してよい携帯電話が3台までで、落とす実験が

7回までできるときについても同じように考えると、1回目は【 キ 】

階から落とせばよく、最も高くて【 ク 】階までについて、落として

壊れるかどうかを1階きざみで調べていくことができることが

わかります。

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解答

 【 ア 】階 ・・・ 1回目

【 ア 】階で1台目の携帯電話が壊れた場合、

残りの最高9回の実験を1階~9階までする必要があるので、

【 ア 】階は、9階の1つ上の 10階 となります。

(【 ア 】階が11階では、10階でも壊れない可能性がある)

 

 【 イ 】階 ・・・ 2回目

【 ア 】階=10階で携帯電話が壊れなかった場合、

【 イ 】階で壊れたら、残り8回の実験を11階~18階で

行えばよいので、【 イ 】階は、18階の1つ上の 19階 です。

 

 【 ウ 】階 ・・・ 最高階

ずっと壊れなかった場合、最高【 ウ 】階まで調べることができ、

【 ア 】=10階、【 イ 】=19階、と1つずつ調べることができる

階数は減るので、【 ウ 】階は

  10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55階 です。

 

 【 エ 】階 ・・・ 3回目は、10+9+8=27階 です。

 

 【 オ 】階 ・・・ 4回目は、10+9+8+7=34階 です。

 

 【 カ 】階 ・・・ 壊れない最高階

4回目の実験で、34階で1台目の携帯電話が壊れました。

5回目の実験では、27+1=28階 → 壊れない

6回目の実験では、27+2=29階 → 壊れた

という結果なので、【 カ 】階は、28階 です。

 

 【 キ 】階 ・・・ 3台、実験階数7回の1回目 → 最悪を想定

【 キ 】階で携帯電話が壊れたとすると、残り2台、6回の実験で

【 キ 】階の1つ下の階まで調べることになります。

 2台の携帯電話を使い6回の実験でどこの階まで調べられるか、

【 ア 】~【 ウ 】の方法で考えればよいですね。

2台目で1回目は、6階です。(残り5回の実験)

   (6階で壊れた場合、3台目で1~5階を調べればよい)

2台目の2回目は、11階です。(残り4回の実験)

   (11階で壊れた場合、3台目で7~10階を調べればよい)

2台目の3回目は、15階です。(残り3回の実験)

   (15階で壊れた場合、3台目で12~14階を調べればよい)

2台目の4回目は、18階です。(残り2回の実験)

   (18階で壊れた場合、3台目で16,17階を調べればよい)

2台目の5回目は、20階です。(残り1回の実験)

   (20階で壊れた場合、3台目で19階を調べればよい)

2台目の6回目(最後)は、21階です。(残り0回の実験)

   (3台目は使わずに実験回数7回終了)

【 ウ 】と同様に、6+5+4+3+2+1=21階 となります。

よって、【 キ 】階は、21階の1つ上の 22階 ということです。

 

 【 ク 】階 ・・・ 3台、7回の実験で壊れない最高階

1台目の2回目に落とす階も、これまでと同様に考え、

そこで1台目が壊れた場合、2台目、3台目で5回実験ができ、

 5+4+3+2+1=15階

を調べることができます。以下同様に、

1台目の2回目は、22+(5+4+3+2+1)+1=38階

1台目の3回目は、38+(4+3+2+1)+1=49階

1台目の4回目は、49+(3+2+1)+1=56階

1台目の5回目は、56+(2+1)+1=60階

1台目の6回目は、60+1+1=62階

1台目の7回目は、62+1=63階

となるので、【 ク 】階は、63階 です。

 

 

 大阪桐蔭中学の過去問題集は → こちら

 大阪桐蔭中学の他の問題は → こちら

 

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