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2012年5月31日 (木)

平均 第17問 (開智中学 入試問題 2009年(平成21年度) 算数)

 

問題 (開智中学 入試問題 2009年 算数) 難易度★★★☆

 

全部で300ページの本があります。この本を毎日、数ページずつ

2日以上かけて読みきることにしました。ただし、次のルールに

従って読みきることにします。

 ① 初日は1ページ以上読む。

 ② どの日も、ページの途中で読み終えることはしない。

 ③ 2日目以降の読むページ数は、前日読んだページ数より

    1ページだけ多い。

 ④ 最終日に残っているページ数も、前日読んだページ数より

    1ページだけ多い。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)読んだ日数が奇数だったとき、初日に読んだページ数と、

   読んだ日数の組をすべて答えなさい。

(2)読んだ日数が偶数だったとき、初日に読んだページ数と、

   読んだ日数の組をすべて答えなさい。

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

 (1)読んだ日数が奇数の場合、ちょうどまん中の日に

読んだページ数が、平均の読んだページ数になります。

 

 平均のページ数 × 日数(奇数) = 300ページ

となり、

 300=1×300、2×150、3×100、4×75、5×60、

      6×50、10×30、12×25、15×20、

      20×15、25×12、30×10、50×6、60×5、

      75×4、100×3、150×2、300×1

なので、日数として考えられるのは、2日以上で奇数ということから

(平均ページ数、日数)=(4,75)、(12,25)、(20,15)、

               (60,5)、(100,3)

と考えられますが、平均4ページで75日かけて読む場合や

平均12ページで25日かけて読む場合は、ページ数が日数より

少ないので、初日に1ページ以上読むことができません。

 

よって、(平均のページ数、日数)の組は、

 (20,15)、(60,5)、(100,3)

で、それぞれのまん中の日は、8日目、3日目、2日目より、

それぞれ初日に読んだページは、13、58、99ページです。

 

よって、(初日に読んだページ数、読んだ日数)の組は、

 (13ページ,15日)、(58ページ,5日)、(99ページ,3日)

となります。

 

 (2)読んだ日数が偶数だったときは、下の図を参考に考えると、



■■     
■■■  
■■■■
■■■■■

読んだページ数の平均は、整数にならず、○○.5 となります。

は共通で、残りの■の個数÷日数で平均にたどりつけます。

2日なら、■が1個、4日なら■が6個、6日なら■が15個・・・、で

1÷2=0.5、6÷4=1.5、15÷6=2.5、28÷8=3.5、・・・

のようになり、平均は、○○.5 になります)

 

このことから、○○.5 × 読んだ日数 = 300

ということになりますが、ここで一工夫します。

○○.5 を ×2倍して整数にし、それを□とします。

当然、300も2倍され、□ × 読んだ日数 = 600

という式になります。(ここで、□=奇数です)

 

(1)と同様に、600を2つの整数の積で表して、

(□、読んだ日数)の組を求めると、

(1,600)、(2,300)、(3,200)、(4,150)、(5,120)、

6,100)、(8、75)、(10,60)、(12,50)、(15,40)、

20,30)、(24,25)、(25,24)、(30,20)、(40,15)、

50,12)、(60,10)、(75,8)、(100,6)、(120,5)、

150,4)、(200、3)、(300,2)、(600,1

 

□=奇数なので、

 (1,600)、(3,200)、(5,120)、(15,40)、

 (25,24)、(75,8)

の6通りが考えられますが、(1)と同様に、

 (1,600) → 平均0.5ページを600日で読む

 (3,200) → 平均1.5ページを200日で読む

 (5,120) → 平均2.5ページを120日で読む

 (15,40) → 平均7.5ページを40日で読む

の4通りは、初日に1ページ読むことができません。

(1日に読むページ数の平均が、日数より少ないため)

 

 (25,24) → 平均12.5ページを24日で読む

  → 12日目に12ページ、13日目に13ページを読むことは

     可能 

 (75,8) → 平均37.5ページを8日で読む

  → 4日目に37ページ、5日目に38ページを読むことは可能

 

偶数日で読む場合は、上記の2通りが可能で、

初日に読んだページ数と読んだ日数の組は、

   (1ページ,24日)、(34ページ,8日)

となります。

 

 

 開智中学(埼玉)の過去問題集は → こちら

 開智中学の他の問題は → こちら

 

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