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2012年4月 3日 (火)

場合の数 並べ方 第51問 (麻布中学 入試問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (麻布中学 入試問題 2012年 算数) 難易度★★★

 

下の図1のような6つのマス目があり、左上のマス目には「1」が

書かれています。残りの5マスに2から6までの数字を1つずつ

書き入れることを考えます。ただし、横の3つの数は、3で割った

余りが異なるようにし、たての2つの数は2で割った余りが異なる

ように書き入れます。

          Pic_2872q

たとえば、下の図2の2つは正しい書き入れ方です。

   Pic_2873q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)下の図3で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

          Pic_2874q

(2)下の図4で、残った3つの数字の書き入れ方は何通りですか。

          Pic_2875q

(3)図1で、残った5つの数字の書き入れ方は何通りですか。

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解答

 (1)図3の空いたところを、下の図5のようにA,B,C とすると

すでに1,3,5(2で割ると1余る)が出ていて、残りの2,4,6は

すべて3で割ったときの余りが異なるので、A,B,C のどこに

入れることも可能です。

          Pic_2876a

よって、書き入れ方は、図5より、3×2×1=6通り です。

 

 (2)図4の空いているところについて考えると、下の図6のように

C のところには奇数、すなわち「3」が入ります。

          Pic_2877a

残りのA,Bに入る数は、残りの2,4のどちらでもよいので、

数字の書き入れ方は、2通り です。

 

 (3)下の図7のように、残りの5か所をA~E とします。

          Pic_2878a

まず、「」は、「1」と同じく「3で割ると1余る」ので、

必ず下段のA,B,Cのどこかに入ることになります。

 

D,E に入る数は「4」以外の2,3,5,6で、その組み合わせは

  (2,3)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3,6)、(5,6)

の6通りのうち、(2,5)、(3,6)を除いた4通りです。

(3で割ったあまりが等しくなってしまうので)

 

(1)より、D,E が(3,5)のとき → 6通り なので、

       D,E が(5,3)のとき → 6通り となります。

(2)より、D,E が(5,6)のとき → 2通り なので、

      D,E が(6,5)のとき → 2通り となります。

 

D,E が(2,3)、(3,2)のとき → (2)のときと同様に2通り

  ((2)と同様に、「2」の下が奇数と決まるので)

D,E が(2,6)、(6,2)のとき → (2)のときと同様に2通り

  (「1」の下が偶数「4」と決まるので)

 

よって、図1への数字の書き込み方は、

 6×2+2×2×3=24通り です。

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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